4. Можно ли обойти все ребра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Решение:

Задача сводится к поиску Эйлерова пути или цикла в графе, представляющем рёбра куба.

У куба 8 вершин и 12 ребер. В любой вершине куба сходятся 3 ребра.

Для того чтобы можно было обойти все рёбра графа ровно один раз (Эйлеров путь), граф должен иметь либо 0 вершин с нечетной степенью (Эйлеров цикл), либо 2 вершины с нечетной степенью (Эйлеров путь).

Степень каждой вершины куба равна 3 (три ребра выходят из каждой вершины).

Так как у куба 8 вершин, и каждая имеет нечетную степень (3), то количество вершин с нечетной степенью равно 8.

Это число (8) больше, чем допустимое для Эйлерова пути (2) или цикла (0).

Следовательно, обойти все рёбра куба, пройдя по каждому ровно один раз, невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.