4) lg \( \frac{x-4}{x-2} \) = lg x.

Решение:

Поскольку основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:

\( \frac{x-4}{x-2} = x \)

Умножим обе части уравнения на \( x-2 \), учитывая, что \( x \neq 2 \):

\( x-4 = x(x-2) \)

Раскроем скобки:

\( x-4 = x^2 - 2x \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 2x - x + 4 = 0 \)

\( x^2 - 3x + 4 = 0 \)

Теперь найдём дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=1 \), \( b=-3 \), \( c=4 \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]

Так как дискриминант \( D < 0 \), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения:

• Аргумент логарифма должен быть положительным: \( \frac{x-4}{x-2} > 0 \) и \( x > 0 \).

Решим неравенство \( \frac{x-4}{x-2} > 0 \). Корни числителя и знаменателя: \( x=4 \) и \( x=2 \). Методом интервалов получаем, что \( x < 2 \) или \( x > 4 \).

Объединяя условия \( x < 2 \) или \( x > 4 \) и \( x > 0 \), получаем ОДЗ: \( (0, 2) \cup (4, \infty) \).

Так как у полученного квадратного уравнения нет действительных корней, исходное логарифмическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений.