4. Каждый из 17 ученых переписывается с остальными. В их переписке речь идет лишь о трех темах. Каждая пара ученых переписывается друг с другом только по одной теме. Один из ученых утверждает: «Я не знаю, о чем переписываются ученые, но среди них точно есть такие X ученых, которые переписываются друг с другом по одной теме». Зная, что ученый не мог ошибиться, выберите все возможные значения X. Варианты ответов: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Представим ученых вершинами полного графа, а переписку каждой пары — ребром. Окрасим ребро в один из трех цветов в зависимости от темы. Тогда группа ученых, у которых все пары переписываются на одну тему, соответствует одноцветному полному подграфу.

1. Для любой пары ученых тема переписки одна, поэтому всегда можно выбрать группу из 2 ученых.
2. По теореме Рамсея для трех цветов, число Рамсея R(3, 3, 3) равно 17. Значит, при любом распределении трех тем среди 17 ученых найдутся трое, переписывающиеся попарно на одну тему. Следовательно, всегда существует группа из 3 ученых.
3. Гарантии группы из 4 ученых нет: существуют трехцветные раскраски ребер полного графа на 17 вершинах без одноцветного полного подграфа из 4 вершин. Поэтому для любого большего X гарантия тоже отсутствует.

Так как из группы из 3 человек можно выбрать пару, значения 2 и 3 оба возможны.

Ответ: 2 и 3.