4. Камень брошен с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью v = 10. Определите, на какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз. Сопротивлением движению пренебречь. Коэффициент g принять равным 10 Н. кг

Решение:

Дано:

\( v_0 = 10 \text{ м/с} \)

\( g = 10 \text{ Н/кг} \)

Найти:

\( h \) - ?

Начальная кинетическая энергия:

\[ E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2} \]

Кинетическая энергия на высоте \( h \):

\[ E_{kh} = \frac{m v_h^2}{2} \]

По условию \( E_{kh} = \frac{1}{5} E_{k0} \), значит, \( v_h^2 = \frac{1}{5} v_0^2 \).

Скорость на высоте \( h \) можно найти из закона сохранения энергии:

\[ \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_h^2}{2} + mgh \]

Умножим обе части на \( \frac{2}{m} \):

\[ v_0^2 = v_h^2 + 2gh \]

Подставим \( v_h^2 = \frac{1}{5} v_0^2 \):

\[ v_0^2 = \frac{1}{5} v_0^2 + 2gh \]

Перенесем \( \frac{1}{5} v_0^2 \) влево:

\[ v_0^2 - \frac{1}{5} v_0^2 = 2gh \]

\[ \frac{4}{5} v_0^2 = 2gh \]

Выразим \( h \):

\[ h = \frac{4 v_0^2}{10 gh} = \frac{4 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{10 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{100 \text{ Н/кг}} = 4 \text{ м} \]

Ответ: 4 м.