4. Из города вышел турист, а через 3 часа вслед за ним по той же прямой дороге выехал велосипедист. Велосипедист едет со скоростью 30 км/ч, турист идет со скоростью 6 км/ч. Постройте на одном чертеже графики зависимости пути от времени для туриста и велосипедиста и, пользуясь ими, найдите через какое время после выезда велосипедиста расстояние между велосипедистом и туристом будет равно 10 км.

Дано:

Скорость туриста: \(v_т = 6 \text{ км/ч}\)

Скорость велосипедиста: \(v_в = 30 \text{ км/ч}\)

Время форы туриста: \(t_ф = 3 \text{ ч}\)

Искомое расстояние: \(S = 10 \text{ км}\)

Найти:

Время \(t\) после выезда велосипедиста, когда расстояние между ними будет \(10 \text{ км}\).

Решение:

1. Составим уравнения движения для туриста и велосипедиста.

Пусть \(t\) — время в часах после выезда велосипедиста.

Турист вышел на 3 часа раньше, поэтому его время движения будет \((t+3)\) часов.

Путь туриста: \(S_т(t) = v_т \cdot (t + 3) = 6(t + 3)\)

Путь велосипедиста: \(S_в(t) = v_в \cdot t = 30t\)

2. Построим графики зависимости пути от времени.

График туриста — прямая, проходящая через точки (0, 18) и (3, 36).

График велосипедиста — прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 30).

3. Найдем время, когда расстояние между ними будет 10 км.

Расстояние между велосипедистом и туристом равно разности их путей: \(|S_в(t) - S_т(t)|\). Нам нужно, чтобы эта разность была равна 10 км.

Поскольку велосипедист быстрее туриста, он будет догонять его. Сначала расстояние будет увеличиваться, а потом уменьшаться.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Велосипедист еще не догнал туриста.

\(S_т(t) - S_в(t) = 10\)

\(6(t + 3) - 30t = 10\)

\(6t + 18 - 30t = 10\)

\(-24t = 10 - 18\)

\(-24t = -8\)

\(t = \frac{-8}{-24} = \frac{1}{3}\) часа.

\(\frac{1}{3}\) часа = \(\frac{1}{3} \u0007 60 = 20\) минут.

Случай 2: Велосипедист обогнал туриста.

\(S_в(t) - S_т(t) = 10\)

\(30t - 6(t + 3) = 10\)

\(30t - 6t - 18 = 10\)

\(24t = 10 + 18\)

\(24t = 28\)

\(t = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}\) часа.

\(\frac{7}{6}\) часа = \(1\) час и \(\frac{1}{6}\) часа = \(1\) час \(10\) минут.

4. Построение графика.

На одном чертеже строим два графика: \(y = 6(x+3)\) и \(y = 30x\).

Для графика \(y = 6x + 18\) берем точки:

• При \(x=0\), \(y=18\). Точка (0, 18).


• При \(x=1\), \(y=6(1+3)=24\). Точка (1, 24).


• При \(x=2\), \(y=6(2+3)=30\). Точка (2, 30).


• При \(x=3\), \(y=6(3+3)=36\). Точка (3, 36).

Для графика \(y = 30x\) берем точки:

• При \(x=0\), \(y=0\). Точка (0, 0).


• При \(x=1\), \(y=30\). Точка (1, 30).


• При \(x=2\), \(y=60\). Точка (2, 60).

На графике ищем точки, где разница по оси Y равна 10.

График:

На графике видно, что разница путей равна 10 км в двух случаях:

• Приблизительно при \(t \approx 0.33\) ч (20 мин), когда турист прошел \(6(0.33+3) \approx 19.98\) км, а велосипедист \(30 \u0007 0.33 \approx 9.9\) км. Разница \(19.98 - 9.9 = 10.08\) км.


• Приблизительно при \(t \approx 1.17\) ч (70 мин), когда турист прошел \(6(1.17+3) \approx 25.02\) км, а велосипедист \(30 \u0007 1.17 \approx 35.1\) км. Разница \(35.1 - 25.02 = 10.08\) км.

Ответ:

Расстояние между велосипедистом и туристом будет равно 10 км через \(\frac{1}{3}\) часа (20 минут) после выезда велосипедиста (когда турист еще впереди) и через \(\frac{7}{6}\) часа (1 час 10 минут) после выезда велосипедиста (когда велосипедист уже обогнал туриста).