4. Исследовать функцию (х) = х³ - 12х на выпуклость и вогнутость и определить точки перегиба функции.

Решение:

1. Найдём вторую производную функции \( f(x) = x^3 - 12x \).

Первая производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12 \).

Вторая производная: \( f''(x) = 6x \).

2. Определим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:

\( f''(x) = 6x = 0 \) \( ⇒ \) \( x = 0 \).

3. Определим интервалы выпуклости и вогнутости:

• Если \( f''(x) > 0 \) (то есть \( 6x > 0 \) \( ⇒ \) \( x > 0 \)), функция выпукла вниз (вогнута).
• Если \( f''(x) < 0 \) (то есть \( 6x < 0 \) \( ⇒ \) \( x < 0 \)), функция выпукла вверх (выпукла).

4. Точка \( x = 0 \) является точкой перегиба, так как вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

5. Найдем значение функции в точке перегиба:

\( f(0) = 0^3 - 12(0) = 0 \).

Следовательно, точка перегиба имеет координаты \( (0, 0) \).

Ответ: Функция выпукла вверх на интервале \( (-\infty, 0) \) и выпукла вниз на интервале \( (0, +\infty) \). Точка перегиба: \( (0, 0) \).