№4. ДРКТ — равнобедренный, в него вписана окружность, РК = РТ. 1) РН = 4,5 см, ТН = 2,5 см. Найдите РАРКТ. 2) РАРКТ = 20 см, РН = 6 см. Найдите длину основания КТ.

Решение:

1) Найдем периметр РАРКТ:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. \( РН \) — высота, \( Н \) — середина основания \( КТ \).

\( РК = РТ \).

\( РН = 4,5 \> см.

\( НТ = 2,5 \> см.

Так как \( Н \) — середина \( КТ \), то \( КН = НТ = 2,5 \> см.

Основание \( КТ = КН + НТ = 2,5 + 2,5 = 5 \> см.

По теореме Пифагора в прямоугольном \( \triangle РНТ \):

\( РТ^2 = РН^2 + НТ^2 \>.
\( РТ^2 = (4,5)^2 + (2,5)^2 = 20,25 + 6,25 = 26,5 \>.
\( РТ = \sqrt{26,5} \> см.

Периметр \( P_{РКТ} = РК + РТ + КТ = 2 \cdot РТ + КТ = 2 \cdot \sqrt{26,5} + 5 \> см.

2) Найдем длину основания КТ:

\( P_{РКТ} = 20 \> см.

\( РН = 6 \> см.

Пусть \( КТ = x \>. Тогда \( КН = НТ = x/2 \>.

По теореме Пифагора в \( \triangle РНТ \):

\( РТ^2 = РН^2 + НТ^2 = 6^2 + (x/2)^2 = 36 + x^2/4 \>.
\( РТ = \sqrt{36 + x^2/4} \>.

Периметр \( P_{РКТ} = РК + РТ + КТ = 2 \cdot РТ + КТ \>.
\( 20 = 2 \cdot \sqrt{36 + x^2/4} + x \>.
\( 20 - x = 2 \cdot \sqrt{36 + x^2/4} \>.

Возведем обе части в квадрат:

\( (20 - x)^2 = 4 \cdot (36 + x^2/4) \>.
\( 400 - 40x + x^2 = 144 + x^2 \>.
\( 400 - 40x = 144 \>.
\( 40x = 400 - 144 = 256 \>.
\( x = 256 / 40 = 6.4 \> см.

Ответ: 1) \\(P_{РКТ} = 5 + 2\sqrt{26,5} \> см.; 2\) \( КТ = 6,4 \> см.