№4. ДРКТ — равнобедренный, в него вписана окружность, РК = РТ. 1) РН = 4,5 см, TH = 2,5 см. Найдите РАРКТ. 2) РАРКТ = 20 см, РН = 6 см. Найдите длину основания КТ.

Решение:

1) Нахождение периметра равнобедренного треугольника РКТ:

• Так как треугольник РКТ равнобедренный, то высота PH делит основание КТ пополам. Следовательно, KH = HT = 2,5 см.
• По условию задачи PH = 4,5 см.
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой.
• Найдем длину боковой стороны РК (или РТ) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РНК:
• РК² = PH² + KH²
• РК² = (4,5 см)² + (2,5 см)²
• РК² = 20,25 см² + 6,25 см²
• РК² = 26,5 см²
• РК = √26,5 см ≈ 5,15 см
• Периметр треугольника РКТ = РК + РТ + КТ = 2 * РК + 2 * KH
• Раркт = 2 * 5,15 см + 2 * 2,5 см = 10,3 см + 5 см = 15,3 см.

2) Нахождение длины основания КТ:

• Дано: РАРКТ = 20 см, PH = 6 см.
• Периметр равнобедренного треугольника РКТ = 2 * РК + КТ = 20 см.
• Высота PH = 6 см.
• Так как треугольник равнобедренный, высота PH делит основание КТ пополам: KH = HT = КТ/2.
• По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике РНК: РК² = PH² + KH²
• РК² = (6 см)² + (КТ/2)²
• РК² = 36 + КТ²/4
• Выразим РК из формулы периметра: 2 * РК = 20 - КТ => РК = (20 - КТ) / 2 = 10 - КТ/2
• Подставим значение РК в уравнение по теореме Пифагора:
• (10 - КТ/2)² = 36 + КТ²/4
• 100 - 10*КТ + КТ²/4 = 36 + КТ²/4
• 100 - 10*КТ = 36
• 10*КТ = 100 - 36
• 10*КТ = 64
• КТ = 6,4 см

Ответ:

• 1) Периметр треугольника РКТ ≈ 15,3 см.
• 2) Длина основания КТ = 6,4 см.