4. Докажите тождество $$ \left(\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}\right)^3 : \left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3 = 1 $$

Привет! Давай разберемся с этим тождеством шаг за шагом.

Разбор выражения:

• Первая дробь: \( \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25} \)
• Числитель — это полный квадрат: \( x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 \)
• Знаменатель — разность квадратов: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \)
• Следовательно, первая дробь равна: \( \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{x+5} \) (при условии, что \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \)).
• Вторая дробь: \( \frac{x-5}{x+5} \)

Подстановка и вычисление:

• Теперь наше тождество выглядит так: \( \left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3 : \left(\frac{x-5}{x+5}\right)^3 \)
• Когда мы делим что-то само на себя (при условии, что это не ноль), результат всегда равен 1.

Ответ: Тождество доказано.