4. Докажите, что значение выражения \(\frac{3}{a-2}+\frac{3a+12}{25-a^2}:\left(\frac{2a-1}{a^2-25}-\frac{a-5}{2a^2+9a-5}\right)\) не зависит от значения переменной.

Разложим многочлены на множители и учтём ограничения области определения:

\(25-a^2=(5-a)(5+a)=-(a-5)(a+5)\), \(a^2-25=(a-5)(a+5)\), \(2a^2+9a-5=(2a-1)(a+5)\). Поэтому выражение определено при \(a\ne 2,-5,5,\frac12\).

Упростим выражение в скобках:

\[\frac{2a-1}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-5}{(2a-1)(a+5)}=\frac{(2a-1)^2-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)(2a-1)}.\]

В числителе применим разность квадратов:

\[(2a-1)^2-(a-5)^2=(a+4)(3a-6)=3(a+4)(a-2).\]

Также \(\frac{3a+12}{25-a^2}=-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}\). Деление на выражение в скобках заменим умножением на обратную дробь:

\[\frac{3a+12}{25-a^2}:\left(\frac{2a-1}{a^2-25}-\frac{a-5}{2a^2+9a-5}\right)=-\frac{3(a+4)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{(a-5)(a+5)(2a-1)}{3(a+4)(a-2)}=-\frac{2a-1}{a-2}.\]

Тогда всё выражение равно

\[\frac{3}{a-2}-\frac{2a-1}{a-2}=\frac{3-(2a-1)}{a-2}=\frac{4-2a}{a-2}=-2.\]

Сокращения допустимы в области определения исходного выражения; значение выражения постоянно для всех допустимых \(a\).

Ответ: \(-2\).