4) Дано: вершины параллелограмма ABCD: A(−3; 1; −4), B(−2; 4; 3), C(0; 3; −4). Определить: 1) координаты вершины D; 2) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB; 3) косинус острого угла между [неясно: диагоналями или сторонами] AB и BC.

1) Координаты вершины D. В параллелограмме диагонали имеют общий центр, поэтому \(A+C=B+D\), откуда \(D=A+C-B\).

\(D=(-3+0-(-2);\ 1+3-4;\ -4+(-4)-3)=(-1;\ 0;\ -11)\).

2) Высота из D на AB. Направляющие векторы: \(\overrightarrow{AB}=(1;3;7)\), \(\overrightarrow{AD}=(2;-1;-7)\). Площадь параллелограмма равна \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|\), а также произведению \(|AB|\) на высоту.

\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-14;21;-7)\), поэтому его длина равна \(7\sqrt{14}\). Кроме того, \(|AB|=\sqrt{1^2+3^2+7^2}=\sqrt{59}\).

Следовательно, \(h_D=\dfrac{7\sqrt{14}}{\sqrt{59}}=7\sqrt{\dfrac{14}{59}}\).

3) Угол. Если имеются в виду стороны AB и BC, то \(\overrightarrow{BC}=(2;-1;-7)\). Скалярное произведение векторов равно \(-50\); косинус острого угла между прямыми берём по модулю скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|AB|\,|BC|}=\dfrac{50}{\sqrt{59}\sqrt{54}}=\dfrac{50}{\sqrt{3186}}\).

Если в условии действительно сказано «между диагоналями», уточните, какие диагонали имеются в виду: у параллелограмма ABCD это AC и BD, а не AB и BC.

Ответ: 1) D(−1; 0; −11); 2) \(7\sqrt{14/59}\); 3) для сторон AB и BC: \(50/\sqrt{3186}\).