4. Дано: $$\cup AC : \cup AB : \cup CB = 3 : 7 : 8$$. Найти: $$\angle 1$$, $$\angle 2$$, $$\angle 3$$.

Решение:

Полная окружность составляет 360 градусов. Дуги AC, AB и CB относятся как 3:7:8. Обозначим коэффициент пропорциональности как \(x\).

1. Находим длину каждой дуги:
   • \[\cup AC = 3x\]
   • \[\cup AB = 7x\]
   • \[\cup CB = 8x\]
2. Сумма дуг равна полной окружности:\[3x + 7x + 8x = 360^°\]\[18x = 360^°\]\[x = \frac{360^°}{18}\]\[x = 20^°\]
3. Рассчитываем значение каждой дуги:
   • \[\cup AC = 3 \times 20^° = 60^°\]
   • \[\cup AB = 7 \times 20^° = 140^°\]
   • \[\cup CB = 8 \times 20^° = 160^°\]
4. Находим величину вписанных углов: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
   • \[\angle 1 = \frac{\cup CB}{2} = \frac{160^°}{2} = 80^°\]
   • \[\angle 2 = \frac{\cup CB}{2} = \frac{160^°}{2} = 80^°\]
   • \[\angle 3 = \frac{\cup AB}{2} = \frac{140^°}{2} = 70^°\]

Проверка: Сумма углов треугольника ABC: \[\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 80^° + 80^° + 70^° = 230^°\]

Важно: Углы 1, 2, 3 на рисунке обозначены как части углов при вершинах треугольника ABC. Угол 1 - это угол BAC, угол 2 - угол ABC, угол 3 - угол BCA. Нужно пересчитать по дугам, на которые опираются стороны треугольника.

Пересчет по правильным дугам:

1. \[\angle BAC = \frac{\cup CB}{2} = \frac{160^°}{2} = 80^°\]
2. \[\angle ABC = \frac{\cup AC}{2} = \frac{60^°}{2} = 30^°\]
3. \[\angle BCA = \frac{\cup AB}{2} = \frac{140^°}{2} = 70^°\]

Проверка: Сумма углов треугольника ABC: \[80^° + 30^° + 70^° = 180^°\]

Ответ: $$\angle 1 = 80^°$$, $$\angle 2 = 30^°$$, $$\angle 3 = 70^°$$.