4. Дан равносторонний треугольник TPR. Найдите: а) \(|\overrightarrow{TP}+\overrightarrow{TR}|\), б) \(|\overrightarrow{TP}-\overrightarrow{TR}|\), если стороны треугольника равны \(23\sqrt{3}\).

Угол между векторами \(\overrightarrow{TP}\) и \(\overrightarrow{TR}\) равен \(60^\circ\), а длина каждого вектора равна стороне треугольника: \(23\sqrt{3}\).

1. Для суммы векторов используем формулу: \(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b|\cos60^\circ\). Поэтому

   \[|\overrightarrow{TP}+\overrightarrow{TR}|=\sqrt{2(23\sqrt{3})^2+2(23\sqrt{3})^2\cdot\frac12}=69.\]

2. Для разности векторов: \(|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos60^\circ\). Поэтому

   \[|\overrightarrow{TP}-\overrightarrow{TR}|=\sqrt{2(23\sqrt{3})^2-2(23\sqrt{3})^2\cdot\frac12}=23\sqrt{3}.\]

Ответ: а) 69; б) \(23\sqrt{3}\).