4 cos³ x − 8 sin²x - 3 sin (3π/2 - x ) + 8 = 0.

Решение:

Данное тригонометрическое уравнение: \( 4 \cos^3 x - 8 \sin^2 x - 3 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 8 = 0 \).

Используем формулу приведения: \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = -\cos x \).

Подставим в уравнение:

\( 4 \cos^3 x - 8 \sin^2 x - 3(-\cos x) + 8 = 0 \)

\( 4 \cos^3 x - 8 \sin^2 x + 3\cos x + 8 = 0 \)

Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \) (основное тригонометрическое тождество):

\( 4 \cos^3 x - 8(1 - \cos^2 x) + 3\cos x + 8 = 0 \)

\( 4 \cos^3 x - 8 + 8\cos^2 x + 3\cos x + 8 = 0 \)

\( 4 \cos^3 x + 8\cos^2 x + 3\cos x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (4 \cos^2 x + 8\cos x + 3) = 0 \)

Это даёт два случая:

1. \( \cos x = 0 \)

Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 4 \cos^2 x + 8\cos x + 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда:

\( 4y^2 + 8y + 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm 4}{8} \]

\( y_1 = \frac{-8 + 4}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{-8 - 4}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \)

Теперь вернемся к \( \cos x \):

• \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

Решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• \( \cos x = -\frac{3}{2} \)

Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), а \( -\frac{3}{2} = -1.5 \).

Объединяем все решения:

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \)

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

где \( k, n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).