4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС=80°, угол CAD=45°. Найдите угол ACD.

Привет! Давай решать задачку про вписанный четырёхугольник. Тут нам помогут свойства углов, связанных с окружностью.

Что мы знаем:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• Угол ABC = 80°.
• Угол CAD = 45°.

Что нужно найти:

• Угол ACD.

Ключевые свойства:

1. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
2. Свойство углов, опирающихся на одну дугу: Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение:

1. Находим угол ADC:
   Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, то сумма противоположных углов равна 180°. Значит, угол ABC + угол ADC = 180°.
   $$80° + ext{угол } ADC = 180°$$
   $$ ext{угол } ADC = 180° - 80° = 100°$$
2. Находим угол ACD:
   Теперь рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Мы знаем угол ADC = 100° и угол CAD = 45°.
   $$ ext{угол } ADC + ext{угол } CAD + ext{угол } ACD = 180°$$
   $$100° + 45° + ext{угол } ACD = 180°$$
   $$145° + ext{угол } ACD = 180°$$
   $$ ext{угол } ACD = 180° - 145° = 35°$$

Проверка (необязательно, но полезно):

Угол ABC (80°) и угол ADC (100°) — противоположные, их сумма 180° (ok).

Угол CAD (45°) и угол CBD опираются на дугу CD. Значит, угол CBD = 45°.

Угол ACD (35°) и угол ABD опираются на дугу AD. Значит, угол ABD = 35°.

Угол ABC = угол ABD + угол CBD = 35° + 45° = 80° (ok).

Ответ: Угол ACD равен 35°.