4. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём, AB=3, AC=12. Найдите AK.

Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной, проведённой из точки к окружности, равен произведению длины секущей на длину её внешней части. В нашем случае:

\(AK^2 = AB \cdot AC\)

Подставляем известные значения:

\(AK^2 = 3 \cdot 12\)
\(AK^2 = 36\)

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения (принимаем только положительное значение, так как это длина):

\(AK = \sqrt{36} = 6\)

**Ответ:** AK = 6.