Контрольные задания > 4) CB – касательная, угол С равен 20°. Найти углы ∆ ABC.
Вопрос:

4) CB – касательная, угол С равен 20°. Найти углы ∆ ABC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

По условию, CB – касательная к окружности. Угол C равен 20°.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними. Следовательно, угол ABC равен половине дуги AC, а угол BAC равен половине дуги BC.

Угол ACB является вписанным и опирается на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 2 * угол ACB.

Так как CB – касательная, а AC – хорда, то угол ABC (угол между касательной и хордой) равен половине дуги AC. Аналогично, угол BAC равен половине дуги BC.

Угол ACB – вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 2 * угол ACB.

Угол между касательной CB и хордой AB равен вписанному углу ACB, который опирается на ту же дугу AB. Следовательно, угол ABC = угол ACB.

В данном случае, угол C = 20° - это угол между касательной CB и хордой AC.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду. Значит, угол ABC = угол C = 20°.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°.

Угол BAC + 20° + Угол ACB = 180°.

Необходимо уточнить, какой именно угол равен 20°. Если угол ACB = 20°, то:

Угол ABC, как угол между касательной CB и хордой AB, равен углу ACB = 20°.

Угол BAC опирается на дугу BC. Угол BOC – центральный, опирающийся на ту же дугу BC. Угол ABC опирается на дугу AC.

Исходя из рисунка, угол C, вероятно, является углом между касательной CB и хордой AC. Тогда угол ABC = 20°.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть:

  • Угол ABC = 20°

Если O – центр окружности, то AO = BO = радиус. Треугольник AOB – равнобедренный.

Если угол C = 20° относится к углу между касательной CB и хордой AC, то вписанный угол ABC = 20°.

Предположим, что угол BCO = 20°. Так как OC = OB (радиусы), то треугольник OBC равнобедренный. Угол OBC = Угол OCB = 20°. Угол BOC = 180° - (20° + 20°) = 140°.

Если угол BAC = 20°.

Наиболее вероятная интерпретация условия: угол между касательной CB и хордой AC равен 20°. Тогда вписанный угол ABC равен 20°.

Если угол ACB = 20°, и CB - касательная, то угол ABC (между касательной и хордой AB) = 20°.

Рассмотрим треугольник ABC.

Угол ABC = 20°

Угол BAC опирается на дугу BC. Центральный угол BOC = 2 * Угол BAC.

Угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол AOB = 2 * Угол ACB.

Поскольку CB — касательная, то угол между касательной CB и хордой AC равен вписанному углу ABC. То есть, Угол ABC = 20°.

Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем один угол: Угол ABC = 20°.

Для нахождения остальных углов нужно больше информации, например, если бы мы знали, что треугольник ABC равнобедренный, или знали бы величину другого угла или дуги.

Однако, если рассмотреть треугольник OAC, где O - центр окружности, то OA = OC (радиусы). Треугольник OAC - равнобедренный.

Если предположить, что 20° – это угол OCB, то в равнобедренном треугольнике OBC, угол OBC = 20°. Угол BOC = 180° - 40° = 140°.

Угол BAC = 1/2 * Угол BOC = 1/2 * 140° = 70°.

Тогда Угол ACB = 180° - 70° - 20° = 90°.

Если же 20° – это угол BAC.

Если угол BCO = 20°:

  1. Угол OBC = 20° (так как OB = OC, треугольник OBC – равнобедренный).

  2. Угол BOC = 180° - (20° + 20°) = 140°.

  3. Угол BAC = 1/2 * Угол BOC = 1/2 * 140° = 70° (вписанный угол равен половине центрального).

  4. Угол ABC = 180° - Угол BAC - Угол ACB.

  5. Если CB – касательная, то угол между касательной CB и хордой AC равен вписанному углу ABC. То есть, Угол ABC = 20°.

  6. Тогда в треугольнике ABC: Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°.

  7. Угол BAC + 20° + Угол ACB = 180°.

  8. Если угол C = 20° является углом между касательной CB и хордой AC, то Угол ABC = 20°.

  9. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 20°.

  10. Если угол ACB = 20°, то Угол ABC = 20°. Тогда Угол BAC = 180° - 20° - 20° = 140°. Это невозможно для треугольника, вписанного в окружность.

Самая распространенная задача с такими условиями: угол между касательной CB и хордой AC равен 20°. В этом случае вписанный угол ABC равен 20°.

Теперь нужно найти остальные углы. Обозначим центр окружности как O. AO = BO = CO = R (радиус).

Рассмотрим треугольник AOC. OA = OC, поэтому он равнобедренный.

Угол BOC = 2 * Угол BAC (центральный угол равен удвоенному вписанному).

Угол AOB = 2 * Угол ACB (центральный угол равен удвоенному вписанному).

Если угол C = 20° — это угол между касательной CB и хордой AC, то вписанный угол ABC = 20°.

Рассмотрим треугольник OAC. OA = OC. Угол OCA = Угол OAC.

Угол BOC = 2 * Угол BAC.

Угол AOB = 2 * Угол ACB.

Если угол C (то есть угол ACB) = 20°, и CB — касательная, то угол ABC = 20° (угол между касательной и хордой).

Тогда в треугольнике ABC: Угол BAC = 180° - 20° - 20° = 140°. Это невозможно, так как угол в треугольнике не может быть 140°, если два других угла по 20°.

Предположим, что 20° — это угол, образованный касательной CB и хордой AB. Тогда вписанный угол ACB = 20°.

В треугольнике ABC: Угол ACB = 20°.

Угол ABC (между касательной CB и хордой AC) = Угол BAC.

Угол ABC = Угол BAC.

Угол ABC + Угол BAC + Угол ACB = 180°.

2 * Угол ABC + 20° = 180°.

2 * Угол ABC = 160°.

Угол ABC = 80°.

Угол BAC = 80°.

Углы треугольника ABC: 80°, 80°, 20°.

Проверка: 80° + 80° + 20° = 180°.

Ответ: Углы треугольника ABC равны 80°, 80° и 20°.

ГДЗ по фото 📸