4*. AB = BC, BT = 4 см. а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка AC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC.

Решение:

а) Определение длины отрезка AC:

1. В \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), значит, \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
2. \( BT \) — высота, так как \( \angle BTA = 90^{\circ} \) (указано на рисунке).
3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
4. Следовательно, \( AT = TC \) и \( \angle ABT = \angle CBT \).
5. В \( \triangle ABT \) имеем \( \angle BAT = 30^{\circ} \) и \( \angle BTA = 90^{\circ} \).
6. Тогда \( \angle ABT = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
7. Так как \( \angle ABT = 60^{\circ} \), то \( \angle ABC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
8. В \( \triangle ABT \), \( BT = 4 \) см. \( \text{tg} 30^{\circ} = \frac{BT}{AT} \).
9. \( AT = \frac{BT}{\text{tg} 30^{\circ}} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.
10. \( AC = 2 AT = 2 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.
11. Оценим значение \( 8\sqrt{3} \). \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
12. \( AC \approx 8 1.732 = 13.856 \) см.
13. Целые числа, между которыми заключена длина отрезка AC, это 13 и 14.

б) Сумма длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон AB и BC:

1. Пусть M — середина AB, N — середина BC.
2. В \( \triangle ABT \), M — середина AB. \( TM \) — средняя линия \( \triangle ABT \) (так как \( TM \parallel AT \) и \( TM = \frac{1}{2} AT \)).
3. \( AT = 4\sqrt{3} \) см.
4. \( TM = \frac{1}{2} 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) см.
5. В \( \triangle CBT \), N — середина BC. \( TN \) — средняя линия \( \triangle CBT \) (так как \( TN \parallel CT \) и \( TN = \frac{1}{2} CT \)).
6. \( CT = AT = 4\sqrt{3} \) см.
7. \( TN = \frac{1}{2} 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) см.
8. Сумма длин отрезков \( TM + TN = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) см.

Ответ: а) Длина отрезка AC заключена между целыми числами 13 и 14. б) Сумма длин отрезков TM и TN равна \( 4\sqrt{3} \) см.