4. а) Решите уравнение 9^cosx + 9^-cosx = 10/3;

Решение:

Обозначим \( y = 9^{\cos x} \). Тогда \( 9^{-\cos x} = \frac{1}{9^{\cos x}} = \frac{1}{y} \). Уравнение примет вид:

\[ y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3} \]

Умножим обе части уравнения на \( 3y \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 3y^2 + 3 = 10y \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 3y^2 - 10y + 3 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]

\[ y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 9^{\cos x} \):

1) \( 9^{\cos x} = 3 \)

\[ (3^2)^{\cos x} = 3^1 \]

\[ 3^{2 \cos x} = 3^1 \]

\[ 2 \cos x = 1 \]

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( 9^{\cos x} = \frac{1}{3} \)

\[ (3^2)^{\cos x} = 3^{-1} \]

\[ 3^{2 \cos x} = 3^{-1} \]

\[ 2 \cos x = -1 \]

\[ \cos x = -\frac{1}{2} \]

Общее решение: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).