(4/5 + 1/6) * (23 2/3 - 15 5/9) * 45/58 * 1/2

Решение:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \(23 \frac{2}{3} = \frac{23 \times 3 + 2}{3} = \frac{69 + 2}{3} = \frac{71}{3}\)
   \(15 \frac{5}{9} = \frac{15 \times 9 + 5}{9} = \frac{135 + 5}{9} = \frac{140}{9}\)
2. Вычислим сумму в первой скобке:
   \(\frac{4}{5} + \frac{1}{6} = \frac{4 \times 6 + 1 \times 5}{30} = \frac{24 + 5}{30} = \frac{29}{30}\)
3. Вычислим разность во второй скобке:
   \(\frac{71}{3} - \frac{140}{9} = \frac{71 \times 3 - 140}{9} = \frac{213 - 140}{9} = \frac{73}{9}\)
4. Перемножим все дроби:
   \(\frac{29}{30} \cdot \frac{73}{9} \cdot \frac{45}{58} \cdot \frac{1}{2}\)
5. Упростим:
   \(\frac{29}{30} \cdot \frac{73}{9} \cdot \frac{45}{29 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{30} \cdot \frac{73}{9} \cdot \frac{45}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
6. Продолжим упрощение:
   \(\frac{1}{2 \cdot 15} \cdot \frac{73}{9} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{73}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
7. \(\frac{1}{2} \cdot \frac{73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{73}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{73}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{73}{24}\)

Ответ: \(\frac{73}{24}\)