4.19. Найдите значение выражения \(\log_{\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}}(4\sqrt{3}+7)\).

1. Упростим основание: \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\), поскольку \(\sqrt{3}<2\).
2. Заметим, что \((2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}\), а \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\). Поэтому \(4\sqrt{3}+7=(2-\sqrt{3})^{-2}\).
3. Следовательно, \(\log_{2-\sqrt{3}}\bigl((2-\sqrt{3})^{-2}\bigr)=-2\).

Ответ: \(-2\).