4.1. На числовой прямой отмечены точки A(−2) и B(17). Найдите координаты: а) середины отрезка AB; б) точки M, если B — середина отрезка AM; в) точки M, делящей отрезок AB в отношении AM : MB = 2 : 3; г) точки C числовой прямой, такой, что AC = 3CB.

а) Координата середины отрезка находится как среднее арифметическое координат его концов:

\(x=\frac{-2+17}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\).

б) Так как B — середина отрезка AM, то:

\(17=\frac{x_M+(-2)}{2}\).

\(x_M-2=34\), поэтому \(x_M=36\).

в) Отрезок AB разделён в отношении \(2:3\), значит весь отрезок состоит из 5 равных частей. Длина AB:

\(AB=17-(-2)=19\).

Тогда \(AM=\frac{2}{5}\cdot19=\frac{38}{5}\), и

\(x_M=-2+\frac{38}{5}=\frac{28}{5}=5{,}6\).

г) Условие \(AC=3CB\) допускает два положения точки C.

Если C находится между A и B, то:

\(x_C+2=3(17-x_C)\),

\(4x_C=49\), поэтому \(x_C=\frac{49}{4}=12{,}25\).

Если C находится правее точки B, то:

\(x_C+2=3(x_C-17)\),

\(2x_C=53\), поэтому \(x_C=\frac{53}{2}=26{,}5\).

Ответ: а) \(7{,}5\); б) \(36\); в) \(5{,}6\); г) \(\frac{49}{4}\) и \(\frac{53}{2}\).