4. (1 балл) Окружность с центром в точке 0 касается сторон МВ и МС треугольника MBC, ∠B = 56°, ∠C = 74° (рис. 1). Найдите ∠MNB.

Решение:

В треугольнике MBC сумма углов равна 180°:

\( \angle M = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 56° - 74° = 180° - 130° = 50° \).

Окружность касается сторон MB и MC. Точка касания с MB - K, с MC - L. Центр окружности O лежит на биссектрисе угла M.

Угол MNO — внешний угол треугольника KMN. \( \angle KMN = \frac{\angle M}{2} = \frac{50°}{2} = 25° \).

В треугольнике MNB:

\( \angle MNB = 180° - \angle MBN - \angle BMN = 180° - 56° - 25° = 180° - 81° = 99° \).

Ответ: 99°.