4.1.36. Решите уравнение (x – 1)⁴ - 2(x - 1)² - 3 = 0.

Решение:

1. Обозначим \( y = (x - 1)^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 3 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
3. Найдем корни для \( y \): \( y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
4. Теперь вернемся к замене: \( (x - 1)^2 = 3 \) или \( (x - 1)^2 = -1 \).
5. Первое уравнение \( (x - 1)^2 = 3 \) дает: \( x - 1 = ±\sqrt{3} \), откуда \( x = 1 ±\sqrt{3} \).
6. Второе уравнение \( (x - 1)^2 = -1 \) не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = 1 ± \sqrt{3} \).