4.1.137. Найдите все положительные значения k, при которых прямая y = kx пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями: y = { "-3x - 4, если x < -2, "2, если -2 ≤ x ≤ 2, "3x - 4, если x > 2. }

Решение:

Ломаная состоит из трёх частей:

1. При \( x < -2 \): \( y = -3x - 4 \). Это луч, исходящий из точки \( (-2, 2) \) (так как \( -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2 \)) и направленный вниз и влево.
2. При \( -2 \leq x \leq 2 \): \( y = 2 \). Это горизонтальный отрезок, соединяющий точки \( (-2, 2) \) и \( (2, 2) \).
3. При \( x > 2 \): \( y = 3x - 4 \). Это луч, исходящий из точки \( (2, 2) \) (так как \( 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 \)) и направленный вверх и вправо.

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \) и имеет наклон \( k \). Чтобы прямая пересекала ломаную в двух точках, она должна проходить через вершины ломаной или иметь наклон, соответствующий этим условиям.

Точки излома ломаной: \( (-2, 2) \) и \( (2, 2) \).

Для того чтобы прямая \( y = kx \) проходила через точку \( (-2, 2) \), подставим её координаты в уравнение: \( 2 = k(-2) \Rightarrow k = -1 \). Так как \( k \) должно быть положительным, этот случай не рассматриваем.

Для того чтобы прямая \( y = kx \) проходила через точку \( (2, 2) \), подставим её координаты в уравнение: \( 2 = k(2) \Rightarrow k = 1 \).

Теперь рассмотрим наклоны лучей ломаной:

• Для луча \( y = -3x - 4 \) при \( x < -2 \), наклон равен \( -3 \).
• Для луча \( y = 3x - 4 \) при \( x > 2 \), наклон равен \( 3 \).

Прямая \( y = kx \) будет пересекать ломаную в двух точках, если её наклон \( k \) находится между наклонами лучей, которые образуют углы с горизонтальной прямой \( y=2 \).

Рассмотрим положительные значения \( k \). Прямая \( y = kx \) с положительным \( k \) будет пересекать ломаную в двух точках, если её наклон больше наклона отрезка \( y=2 \) (который равен 0), и меньше наклона луча \( y=3x-4 \), но при этом проходит через точку \( (2, 2) \).

Чтобы прямая \( y=kx \) пересекала ломаную в двух точках, она должна проходить через начало координат \( (0,0) \).

Если \( k > 0 \), прямая \( y=kx \) пересечет горизонтальный отрезок \( y=2 \) при \( x = 2/k \).

Если \( k > 0 \), то при \( x > 0 \), \( y=kx \) растет. Ломаная при \( x>2 \) имеет вид \( y=3x-4 \). В точке \( (2,2) \) \( y=kx \) = \( 2k \). В точке \( (2,2) \) ломаная имеет значение \( y=2 \).

Прямая \( y=kx \) пересекает ломаную в двух точках, если:

1. \( k \) больше наклона горизонтального отрезка (0) и меньше наклона правого луча (3). \( 0 < k < 3 \).
2. Прямая проходит через точку \( (2,2) \). При \( k=1 \), \( y=x \) проходит через \( (0,0) \) и \( (2,2) \). Она также пересечет левую часть ломаной.

Рассмотрим график:

• Левый луч: \( y = -3x - 4 \) для \( x < -2 \). В точке \( x=-2 \), \( y=2 \).
• Отрезок: \( y = 2 \) для \( -2 ≤ x ≤ 2 \).
• Правый луч: \( y = 3x - 4 \) для \( x > 2 \). В точке \( x=2 \), \( y=2 \).

Прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \).

Если \( k=1 \), то \( y=x \). Эта прямая проходит через \( (0,0) \) и \( (2,2) \). Она также пересекает левый луч. Значит, \( k=1 \) подходит.

Если \( k > 0 \), чтобы было два пересечения, прямая должна проходить через \( (0,0) \) и одну из точек излома, или пересекать два участка ломаной.

При \( k > 0 \), \( y=kx \) пересечет правый луч \( y=3x-4 \) при \( kx = 3x-4 → x(k-3)=-4 → x = \frac{4}{3-k} \). Это пересечение будет справа от \( x=2 \), если \( \frac{4}{3-k} > 2 \). Так как \( k < 3 \), то \( 3-k > 0 \), значит \( 4 > 2(3-k) → 4 > 6 - 2k → 2k > 2 → k > 1 \).

При \( k > 0 \), \( y=kx \) пересечет горизонтальный отрезок \( y=2 \) при \( kx=2 → x = 2/k \). Это пересечение будет в интервале \( [-2, 2] \), если \( -2 ≤ 2/k ≤ 2 \). Так как \( k>0 \), то \( 2/k > 0 \), значит \( 0 < 2/k ≤ 2 → 2 ≤ 2k → k ≥ 1 \).

Таким образом, для двух пересечений, нам нужно \( k > 1 \) (для пересечения правого луча справа от \( x=2 \)) и \( k ≥ 1 \) (для пересечения отрезка в допустимом диапазоне \( x \)).

Если \( k=1 \), прямая \( y=x \) проходит через \( (0,0) \) и \( (2,2) \). Она также пересекает левый луч, поэтому \( k=1 \) дает 3 пересечения (если считать точку \( (2,2) \) как пересечение с лучом \( y=3x-4 \) и отрезком \( y=2 \), и еще пересечение с левым лучом).

Однако, вопрос в том, чтобы пересечь ломаную в двух точках. Пересечение с вершиной \( (2,2) \) считается как одно пересечение. Для положительных \( k \), прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \).

Рассмотрим положительные \( k \):

• Если \( 0 < k < 1 \): прямая \( y=kx \) пересечет отрезок \( y=2 \) в точке \( x = 2/k > 2 \), что не входит в интервал \( [-2, 2] \). Прямая не пересечет ломаную в двух точках.
• Если \( k = 1 \): прямая \( y=x \) проходит через \( (0,0) \) и \( (2,2) \). Она также пересекает левый луч \( y=-3x-4 \) при \( x=-3/2 \), что является ошибкой, так как \( x < -2 \) должно быть. \( x = -3/2 \) не меньше \( -2 \). Значит, \( y=x \) пересекает ломаную только в точке \( (2,2) \) и еще левее. Наклон левого луча -3. Если \( k=1 \), то \( x=-3/2 \) для пересечения с \( y=-3x-4 \). Это неверно.

Пересечение с левым лучом \( y=-3x-4 \) при \( x < -2 \): \( kx = -3x - 4 → x(k+3) = -4 → x = \frac{-4}{k+3} \). Это пересечение будет слева от \( x=-2 \), если \( \frac{-4}{k+3} < -2 \). Так как \( k > 0 \), то \( k+3 > 0 \), значит \( -4 < -2(k+3) → -4 < -2k - 6 → 2k < -2 → k < -1 \). Это противоречит \( k > 0 \).

Итак, для \( k > 0 \), прямая \( y=kx \) может пересечь ломаную в двух точках:

1. Пересечение с отрезком \( y=2 \) (где \( -2 ≤ x ≤ 2 \)) и с правым лучом \( y=3x-4 \) (где \( x > 2 \)).
2. Пересечение с отрезком \( y=2 \) (где \( -2 ≤ x ≤ 2 \)) и с левым лучом \( y=-3x-4 \) (где \( x < -2 \)).

Случай 2 невозможен для \( k > 0 \), так как \( y=kx \) с \( k>0 \) пересечет \( y=-3x-4 \) при \( x < -2 \) только если \( k < -1 \).

Рассмотрим случай 1: пересечение с отрезком \( y=2 \) и с правым лучом \( y=3x-4 \).

Для пересечения с отрезком \( y=2 \): \( y=kx \) должно пройти через \( (x, 2) \) где \( -2 ≤ x ≤ 2 \). Если \( k > 0 \), то \( x = 2/k \). Мы должны иметь \( 0 < 2/k ≤ 2 \), что дает \( k ≥ 1 \).

Для пересечения с правым лучом \( y=3x-4 \): \( y=kx \) должно пересечь \( y=3x-4 \) при \( x > 2 \). Как показано выше, это происходит при \( 1 < k < 3 \).

Объединяя условия \( k ≥ 1 \) и \( 1 < k < 3 \), получаем \( 1 < k < 3 \).

Проверим \( k=1 \): \( y=x \). Пересекает ломаную в \( (2,2) \). При \( x = -3/2 \), \( y=-3/2 \), не попадает в \( y=-3x-4 \). Это неверно.

Прямая \( y=kx \) должна пересечь ломаную в двух различных точках.

Вершины ломаной: \( A(-2, 2) \), \( B(2, 2) \).

Угловые коэффициенты лучей:

• Левый луч (исходящий из A): \( m_1 = -3 \).
• Правый луч (исходящий из B): \( m_2 = 3 \).
• Отрезок AB: \( m_3 = 0 \).

Для положительных \( k \):

Прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \).

1. Если \( y=kx \) проходит через \( B(2,2) \), то \( 2 = 2k → k=1 \). Эта прямая \( y=x \) пересекает ломаную в \( (2,2) \) (точка B) и где-то слева.

Пересечение с левым лучом \( y=-3x-4 \): \( x = -3/2 \). Это не входит в \( x<-2 \).

Значит, при \( k=1 \), \( y=x \) пересекает ломаную в точке \( (2,2) \) и где-то еще. Необходимо найти вторую точку пересечения.

При \( k=1 \), \( y=x \). Пересечение с \( y=-3x-4 \) при \( x=-3/2 \), что не подходит. Пересечение с \( y=2 \) при \( x=2 \), что есть точка B. Пересечение с \( y=3x-4 \) при \( x=2 \), что есть точка B.

Это означает, что \( k=1 \) дает только одно пересечение в точке \( B(2,2) \) (с учетом того, что эта точка лежит на обоих лучах).

Чтобы было ДВА пересечения, прямая \( y=kx \) должна быть либо между лучами, либо проходить через одну из точек излома и пересекать другой участок.

Рассмотрим наклоны, которые дадут два пересечения:

1. \( k \) больше наклона правого луча (3). Тогда \( y=kx \) пересечет отрезок \( y=2 \) и левый луч.

2. \( k \) меньше наклона левого луча (который отрицателен). Этот случай не подходит, так как \( k>0 \).

3. \( k \) между наклонами лучей, но проходит через точку \( (2,2) \).

Сложим все условия для \( k > 0 \):

- Прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \).

- Чтобы пересечь ломаную в двух точках, \( k \) должно быть больше нуля.

- \( k \) должно быть меньше наклона правого луча, т.е. \( k < 3 \). Это нужно, чтобы не пересечь левый луч, который идет вниз.

- \( k \) должно быть больше наклона, который дает пересечение с отрезком \( y=2 \) в пределах \( [-2, 2] \). Это \( k ≥ 1 \).

- Если \( k=1 \), прямая \( y=x \) проходит через \( (2,2) \). Она пересекает ломаную в \( (2,2) \) и также левее. Чтобы было два пересечения, \( y=x \) должна пересечь и левую часть ломаной. Это происходит при \( x=-3/2 \), но это не попадает в \( x<-2 \). Значит \( k=1 \) дает только одно пересечение.

- Если \( 1 < k < 3 \): прямая \( y=kx \) пересечет отрезок \( y=2 \) в точке \( x = 2/k ≤ 2 \) (так как \( k ≥ 1 \)). И пересечет правый луч \( y=3x-4 \) при \( x = 4/(3-k) > 2 \) (так как \( 1 < k < 3 \)).

Таким образом, при \( 1 < k < 3 \) прямая \( y=kx \) пересекает ломаную в двух точках: одна на отрезке \( y=2 \), другая на правом луче.

Что насчет левого луча? При \( k > 0 \), \( y=kx \) не пересечет левый луч \( y=-3x-4 \) при \( x < -2 \).

Итак, для \( k > 0 \) два пересечения будут при \( 1 < k < 3 \).

Нужно учесть, что прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \).

Прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \). Ломаная имеет вершины \( (-2, 2) \) и \( (2, 2) \).

- Для \( k > 0 \), \( y=kx \) возрастает.

- Она пересечет отрезок \( y=2 \) в точке \( (2/k, 2) \). Чтобы это было в пределах отрезка \( [-2, 2] \), нужно \( 0 < 2/k ≤ 2 \), что дает \( k ≥ 1 \).

- Она пересечет правый луч \( y=3x-4 \) в точке \( x = 4/(3-k) \). Чтобы это было при \( x > 2 \), нужно \( 4/(3-k) > 2 \). Так как \( k>0 \) и для пересечения с ломаной \( k < 3 \), то \( 3-k > 0 \). Значит \( 4 > 2(3-k) → 4 > 6 - 2k → 2k > 2 → k > 1 \).

- Она пересечет левый луч \( y=-3x-4 \) в точке \( x = -4/(k+3) \). Для \( k>0 \), \( x < 0 \). Чтобы это было при \( x < -2 \), нужно \( -4/(k+3) < -2 \). Так как \( k+3 > 0 \), то \( -4 < -2(k+3) → -4 < -2k - 6 → 2k < -2 → k < -1 \). Это невозможно для \( k > 0 \).

Следовательно, для \( k > 0 \) пересечения могут быть только с отрезком \( y=2 \) и правым лучом \( y=3x-4 \).

Для двух пересечений, нам нужно, чтобы \( k ≥ 1 \) (для пересечения с отрезком) И \( k > 1 \) (для пересечения с правым лучом при \( x > 2 \)).

Объединяя эти условия, получаем \( k > 1 \). Также нужно, чтобы \( k < 3 \) (наклон правого луча), иначе прямая будет выше.

Итак, \( 1 < k < 3 \).

Если \( k=1 \), прямая \( y=x \) проходит через \( (2,2) \). Пересечение с отрезком \( y=2 \) в точке \( (2,2) \). Пересечение с правым лучом \( y=3x-4 \) в точке \( (2,2) \). Это одно пересечение. Также нужно проверить пересечение с левым лучом \( y=-3x-4 \). \( x = -4/(1+3) = -1 \). Это не попадает в \( x < -2 \). Значит, при \( k=1 \) одно пересечение.

Если \( k=3 \), прямая \( y=3x \) параллельна правому лучу \( y=3x-4 \). Пересечение с отрезком \( y=2 \) в точке \( (2/3, 2) \). Пересечение с левым лучом \( y=-3x-4 \) при \( x = -4/(3+3) = -4/6 = -2/3 \). Не попадает в \( x < -2 \). В этом случае одно пересечение.

Таким образом, для двух пересечений, \( k \) должно быть строго между 1 и 3.

Ответ: \( 1 < k < 3 \).