390. Найдите решение системы уравнений: a) {2(x-3y) = 3x – 4y – 1, 5(2y+x) – 4 = 3(2x – 1) + 4; б) {4p – 3k – 1 = 3(3p – 2k), 1,5k + 2p = -2(2p – 0,5k) + 7.

Решение системы уравнений:

а)

Для начала раскроем скобки и приведем каждое уравнение к стандартному виду:

• Первое уравнение:
  \[ 2(x - 3y) = 3x - 4y - 1 \]
  \[ 2x - 6y = 3x - 4y - 1 \]
  \[ -x - 2y = -1 \]
  \[ x + 2y = 1 \]
• Второе уравнение:
  \[ 5(2y + x) - 4 = 3(2x - 1) + 4 \]
  \[ 10y + 5x - 4 = 6x - 3 + 4 \]
  \[ 10y + 5x - 4 = 6x + 1 \]
  \[ -x + 10y = 5 \]

Теперь у нас есть новая система:

• \[ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ -x + 10y = 5 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения, чтобы исключить x:

• \[ (x + 2y) + (-x + 10y) = 1 + 5 \]
  \[ 12y = 6 \]
  \[ y = \frac{6}{12} \]
  \[ y = 0,5 \]

Подставим значение y в первое уравнение, чтобы найти x:

• \[ x + 2(0,5) = 1 \]
  \[ x + 1 = 1 \]
  \[ x = 0 \]

Проверка:
Первое уравнение: 2(0 - 3*0.5) = 2(-1.5) = -3. 3*0 - 4*0.5 - 1 = 0 - 2 - 1 = -3. Верно.
Второе уравнение: 5(2*0.5 + 0) - 4 = 5(1) - 4 = 5 - 4 = 1. 3(2*0 - 1) + 4 = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1. Верно.

б)

Раскроем скобки и приведем уравнения к стандартному виду:

• Первое уравнение:
  \[ 4p - 3k - 1 = 3(3p - 2k) \]
  \[ 4p - 3k - 1 = 9p - 6k \]
  \[ -5p + 3k = 1 \]
• Второе уравнение:
  \[ 1,5k + 2p = -2(2p - 0,5k) + 7 \]
  \[ 1,5k + 2p = -4p + k + 7 \]
  \[ 6p + 0,5k = 7 \]

Теперь у нас есть новая система:

• \[ \begin{cases} -5p + 3k = 1 \\ 6p + 0,5k = 7 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 6, чтобы привести коэффициенты при k к одному значению:

• \[ 36p + 3k = 42 \]

Теперь вычтем первое уравнение из нового второго:

• \[ (36p + 3k) - (-5p + 3k) = 42 - 1 \]
  \[ 36p + 3k + 5p - 3k = 41 \]
  \[ 41p = 41 \]
  \[ p = 1 \]

Подставим значение p во второе уравнение, чтобы найти k:

• \[ 6(1) + 0,5k = 7 \]
  \[ 6 + 0,5k = 7 \]
  \[ 0,5k = 1 \]
  \[ k = \frac{1}{0,5} \]
  \[ k = 2 \]

Проверка:
Первое уравнение: 4(1) - 3(2) - 1 = 4 - 6 - 1 = -3. 3(3(1) - 2(2)) = 3(3 - 4) = 3(-1) = -3. Верно.
Второе уравнение: 1.5(2) + 2(1) = 3 + 2 = 5. -2(2(1) - 0.5(2)) + 7 = -2(2 - 1) + 7 = -2(1) + 7 = -2 + 7 = 5. Верно.

Ответ: а) x = 0, y = 0,5; б) p = 1, k = 2.