№ 382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, точка O является серединой диагоналей AC и BD. Поэтому OA = OC и OB = OD.

Точки A₁ и C₁ — середины отрезков OA и OC. Они лежат на одной прямой AC. В треугольнике AOC отрезок A₁C₁ соединяет середины двух сторон, поэтому он является средней линией:

\(A_1C_1 \parallel AC\), \(A_1C_1 = \frac{1}{2}AC\).

Аналогично, в треугольнике BOD точки B₁ и D₁ — середины сторон OB и OD. Следовательно:

\(B_1D_1 \parallel BD\), \(B_1D_1 = \frac{1}{2}BD\).

Кроме того, в треугольнике OBC отрезок B₁C₁ соединяет середины сторон OB и OC, поэтому:

\(B_1C_1 \parallel BC\).

В треугольнике OAD отрезок A₁D₁ соединяет середины сторон OA и OD, поэтому:

\(A_1D_1 \parallel AD\).

Так как в параллелограмме \(ABCD\) выполняется \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\), то стороны четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ попарно параллельны: \(A_1B_1 \parallel C_1D_1\) и \(B_1C_1 \parallel A_1D_1\). Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ является параллелограммом.