37.6. (ЗНО-2011) Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 40 см². Периметр основи призми дорівнює 20√2 см. Визначити висоту призми.

Решение:

Основание правильной четырехугольной призмы — квадрат. Периметр основания \( P_{осн} = 4a \), где \( a \) — сторона квадрата.

По условию, \( P_{осн} = 20\sqrt{2} \text{ см} \).

Найдем сторону основания: \( a = \frac{P_{осн}}{4} = \frac{20\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2} \text{ см} \).

Диагональный разрез правильной четырехугольной призмы — это прямоугольник, площадь которого равна произведению стороны основания на высоту призмы: \( S_{діаг.перерізу} = a \cdot h \).

По условию, \( S_{діаг.перерізу} = 40 \text{ см}^2 \).

Найдем высоту призмы: \( h = \frac{S_{діаг.перерізу}}{a} = \frac{40}{5\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} \).

Ответ: 4√2 см.