369. Три окружности с центрами О₁, О₂, О₃ и радиусами, равными 2 см, 4 см и 6 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите периметр треугольника О₁О₂О₃.

Решение:

Когда три окружности с центрами \( O_1, O_2, O_3 \) и радиусами \( r_1, r_2, r_3 \) касаются попарно внешним образом, расстояния между их центрами равны суммам соответствующих радиусов:

• Расстояние между \( O_1 \) и \( O_2 \) равно \( d_{12} = r_1 + r_2 \).
• Расстояние между \( O_2 \) и \( O_3 \) равно \( d_{23} = r_2 + r_3 \).
• Расстояние между \( O_1 \) и \( O_3 \) равно \( d_{13} = r_1 + r_3 \).

По условию задачи радиусы равны \( r_1 = 2 \text{ см} \), \( r_2 = 4 \text{ см} \), \( r_3 = 6 \text{ см} \).

1. Найдем длину стороны \( O_1 O_2 \): \( d_{12} = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см} \).
2. Найдем длину стороны \( O_2 O_3 \): \( d_{23} = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} = 10 \text{ см} \).
3. Найдем длину стороны \( O_1 O_3 \): \( d_{13} = 2 \text{ см} + 6 \text{ см} = 8 \text{ см} \).
4. Периметр треугольника \( O_1 O_2 O_3 \) равен сумме длин его сторон: \( P = d_{12} + d_{23} + d_{13} = 6 \text{ см} + 10 \text{ см} + 8 \text{ см} = 24 \text{ см} \).

Ответ: 24 см.