36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма всех членов $\frac{121}{162}$. Сколько членов в этой прогрессии?

Question

Вопрос: $Фото задания: 36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма…$ Фото задания

36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма всех членов $\frac{121}{162}$. Сколько членов в этой прогрессии?

Accepted Answer

Пусть первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель $q=\frac13$.

По формуле общего члена: $b_4=b_1q^3$. Поэтому $b_1=\frac{1}{54}:\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{54}:\frac{1}{27}=\frac12$.

Сумма первых $n$ членов: $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$. Подставим данные:

$\frac{121}{162}=\frac12\cdot\frac{1-(1/3)^n}{1-1/3}=\frac34\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$.

Тогда $1-\frac{1}{3^n}=\frac{121}{162}\cdot\frac43=\frac{242}{243}$, откуда $\frac{1}{3^n}=\frac{1}{243}=\frac{1}{3^5}$. Следовательно, $n=5$.

Ответ: 5 членов.