36.25. При каких целых значениях n значение дроби является целым числом: 1) \(\frac{2n^2 + 7n - 4}{n + 3}\) 2) \(\frac{4n^2 - 11n + 23}{n - 2}\)

Решение:

Чтобы дробь была целым числом, числитель должен делиться нацело на знаменатель.

1) \(\frac{2n^2 + 7n - 4}{n + 3}\)

1. Разделим числитель на знаменатель методом деления многочленов или алгебраически.
2. \( 2n^2 + 7n - 4 = 2n(n+3) + n - 4 \)
3. \( n - 4 = 1(n+3) - 7 \)
4. Таким образом, \( 2n^2 + 7n - 4 = 2n(n+3) + (n+3) - 7 = (2n+1)(n+3) - 7 \).
5. Дробь примет вид: \( \frac{(2n+1)(n+3) - 7}{n + 3} = 2n+1 - \frac{7}{n + 3} \).
6. Чтобы значение дроби было целым, \( n+3 \) должно быть делителем числа 7.
7. Делители числа 7: \( \pm 1, \pm 7 \).
8. Возможные значения \( n+3 \):
• \( n+3 = 1 \implies n = -2 \)
• \( n+3 = -1 \implies n = -4 \)
• \( n+3 = 7 \implies n = 4 \)
• \( n+3 = -7 \implies n = -10 \)

2) \(\frac{4n^2 - 11n + 23}{n - 2}\)

1. Аналогично разделим числитель на знаменатель.
2. \( 4n^2 - 11n + 23 = 4n(n-2) - 3n + 23 \)
3. \( -3n + 23 = -3(n-2) + 17 \)
4. Таким образом, \( 4n^2 - 11n + 23 = 4n(n-2) - 3(n-2) + 17 = (4n-3)(n-2) + 17 \).
5. Дробь примет вид: \( \frac{(4n-3)(n-2) + 17}{n - 2} = 4n-3 + \frac{17}{n - 2} \).
6. Чтобы значение дроби было целым, \( n-2 \) должно быть делителем числа 17.
7. Делители числа 17: \( \pm 1, \pm 17 \).
8. Возможные значения \( n-2 \):
• \( n-2 = 1 \implies n = 3 \)
• \( n-2 = -1 \implies n = 1 \)
• \( n-2 = 17 \implies n = 19 \)
• \( n-2 = -17 \implies n = -15 \)

Ответ: 1) -10, -4, -2, 4; 2) -15, 1, 3, 19.