357 Случайные величины Х и У независимы, и каждая из них — результат случайного выбора натурального числа из отрезка от 1 до 9. a) Постройте совместное распределение случайных величин Х и У. б) Постройте распределение случайной величины Z = max(X, Y).

Решение:

Случайные величины Х и У независимы и принимают каждое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} с вероятностью \( P(X=x) = P(Y=y) = \frac{1}{9} \) для \( x, y \in \{1, 2, ..., 9\}. \)

а) Совместное распределение случайных величин Х и У:

Так как X и Y независимы, то совместная вероятность для любых значений \( x \) и \( y \) равна произведению их индивидуальных вероятностей:

\( P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y) = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{81} \)

Совместное распределение можно представить в виде таблицы 9x9, где каждая ячейка имеет вероятность 1/81.

б) Распределение случайной величины Z = max(X, Y):

Возможные значения Z = max(X, Y) лежат в отрезке от 1 до 9.

Найдем вероятность того, что \( Z \le k \) для \( k \in \{1, 2, ..., 9\}. \)

\( P(Z \le k) = P(max(X, Y) \le k) = P(X \le k \text{ and } Y \le k) \)

Так как X и Y независимы, \( P(Z \le k) = P(X \le k) \cdot P(Y \le k) \).

\( P(X \le k) = \frac{k}{9} \) и \( P(Y \le k) = \frac{k}{9} \).

Следовательно, \( P(Z \le k) = \frac{k}{9} \cdot \frac{k}{9} = \frac{k^2}{81} \).

Теперь найдем распределение вероятностей для каждого значения \( z \in \{1, 2, ..., 9\}: \)

\( P(Z = z) = P(Z \le z) - P(Z \le z-1) \)

• \( P(Z=1) = P(Z \le 1) - P(Z \le 0) = \frac{1^2}{81} - 0 = \frac{1}{81} \)
• \( P(Z=2) = P(Z \le 2) - P(Z \le 1) = \frac{2^2}{81} - \frac{1^2}{81} = \frac{4 - 1}{81} = \frac{3}{81} \)
• \( P(Z=3) = P(Z \le 3) - P(Z \le 2) = \frac{3^2}{81} - \frac{2^2}{81} = \frac{9 - 4}{81} = \frac{5}{81} \)
• \( P(Z=4) = P(Z \le 4) - P(Z \le 3) = \frac{4^2}{81} - \frac{3^2}{81} = \frac{16 - 9}{81} = \frac{7}{81} \)
• \( P(Z=5) = P(Z \le 5) - P(Z \le 4) = \frac{5^2}{81} - \frac{4^2}{81} = \frac{25 - 16}{81} = \frac{9}{81} \)
• \( P(Z=6) = P(Z \le 6) - P(Z \le 5) = \frac{6^2}{81} - \frac{5^2}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81} \)
• \( P(Z=7) = P(Z \le 7) - P(Z \le 6) = \frac{7^2}{81} - \frac{6^2}{81} = \frac{49 - 36}{81} = \frac{13}{81} \)
• \( P(Z=8) = P(Z \le 8) - P(Z \le 7) = \frac{8^2}{81} - \frac{7^2}{81} = \frac{64 - 49}{81} = \frac{15}{81} \)
• \( P(Z=9) = P(Z \le 9) - P(Z \le 8) = \frac{9^2}{81} - \frac{8^2}{81} = \frac{81 - 64}{81} = \frac{17}{81} \)

Проверка: \( \frac{1+3+5+7+9+11+13+15+17}{81} = \frac{81}{81} = 1 \).

Ответ: а) Совместное распределение представлено таблицей 9x9 с вероятностью 1/81 для каждой ячейки. б) Распределение Z = max(X, Y) дано формулой P(Z=z) = (2z-1)/81 для z = 1, 2, ..., 9.