356 В некотором эксперименте наблюдаются две независимые случайные величины X и У. Случайная величина Х с равными вероятностями принимает значения -1, 0 или 1, а случайная величина У с равными вероятностями принимает значения 1 или 2. Составьте распределение случайной величины: a) X + Y; б) X - 2Y; в) X / Y.

Решение:

Случайная величина Х принимает значения {-1, 0, 1} с вероятностью P(X=x) = 1/3 для каждого значения.

Случайная величина У принимает значения {1, 2} с вероятностью P(Y=y) = 1/2 для каждого значения.

Так как X и Y независимы, совместное распределение вероятностей P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y) = (1/3) * (1/2) = 1/6 для всех пар (x, y).

а) Совместное распределение случайной величины Z = X + Y:

Возможные значения Z = X + Y:

• -1 + 1 = 0
• -1 + 2 = 1
• 0 + 1 = 1
• 0 + 2 = 2
• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3

Уникальные значения Z: {0, 1, 2, 3}.

Распределение вероятностей Z = X + Y:

• P(Z=0) = P(X=-1, Y=1) = 1/6
• P(Z=1) = P(X=-1, Y=2) + P(X=0, Y=1) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
• P(Z=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=1) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
• P(Z=3) = P(X=1, Y=2) = 1/6

б) Совместное распределение случайной величины W = X - 2Y:

Возможные значения W = X - 2Y:

• -1 - 2*1 = -3
• -1 - 2*2 = -5
• 0 - 2*1 = -2
• 0 - 2*2 = -4
• 1 - 2*1 = -1
• 1 - 2*2 = -3

Уникальные значения W: {-5, -4, -3, -2, -1}.

Распределение вероятностей W = X - 2Y:

• P(W=-5) = P(X=-1, Y=2) = 1/6
• P(W=-4) = P(X=0, Y=2) = 1/6
• P(W=-3) = P(X=-1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
• P(W=-2) = P(X=0, Y=1) = 1/6
• P(W=-1) = P(X=1, Y=1) = 1/6

в) Совместное распределение случайной величины V = X / Y:

Возможные значения V = X / Y:

• -1 / 1 = -1
• -1 / 2 = -0.5
• 0 / 1 = 0
• 0 / 2 = 0
• 1 / 1 = 1
• 1 / 2 = 0.5

Уникальные значения V: {-1, -0.5, 0, 0.5, 1}.

Распределение вероятностей V = X / Y:

• P(V=-1) = P(X=-1, Y=1) = 1/6
• P(V=-0.5) = P(X=-1, Y=2) = 1/6
• P(V=0) = P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
• P(V=0.5) = P(X=1, Y=2) = 1/6
• P(V=1) = P(X=1, Y=1) = 1/6

Ответ: Распределения приведены выше для Z=X+Y, W=X-2Y и V=X/Y.