Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
354. a) y=x³+1, y=0, x=0, x=2; б) y=1+2 sin x, y=0, x=0, x=π; в) y=4-x², y=0; г) y=1+1/2 cos x, y=0, x=-π/2, x=π/2.
Ответ:
Краткое пояснение:
Краткое пояснение: Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо использовать определенный интеграл. Формула площади фигуры под кривой y = f(x) от x = a до x = b над осью Ox (y=0) выглядит как: S = ∫[a, b] f(x) dx.
Решение:
- 354. а) y = x³+1, y = 0, x = 0, x = 2.
S = ∫[0, 2] (x³+1) dx = [x⁴/4 + x] | from 0 to 2 = (2⁴/4 + 2) - (0⁴/4 + 0) = (16/4 + 2) - 0 = 4 + 2 = 6. - 354. б) y = 1+2 sin x, y = 0, x = 0, x = π.
S = ∫[0, π] (1+2 sin x) dx = [x - 2 cos x] | from 0 to π = (π - 2 cos π) - (0 - 2 cos 0) = (π - 2(-1)) - (0 - 2(1)) = (π + 2) - (-2) = π + 4. - 354. в) y = 4-x², y = 0.
Найдем точки пересечения с осью Ox: 4-x² = 0 => x² = 4 => x = ±2.
S = ∫[-2, 2] (4-x²) dx = [4x - x³/3] | from -2 to 2 = (4(2) - 2³/3) - (4(-2) - (-2)³/3) = (8 - 8/3) - (-8 - (-8/3)) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 16 - 16/3 = (48 - 16)/3 = 32/3. - 354. г) y = 1+1/2 cos x, y = 0, x = -π/2, x = π/2.
S = ∫[-π/2, π/2] (1+1/2 cos x) dx = [x + 1/2 sin x] | from -π/2 to π/2 = (π/2 + 1/2 sin(π/2)) - (-π/2 + 1/2 sin(-π/2)) = (π/2 + 1/2(1)) - (-π/2 + 1/2(-1)) = (π/2 + 1/2) - (-π/2 - 1/2) = π/2 + 1/2 + π/2 + 1/2 = π + 1.
Ответ: 354. а) 6; б) π + 4; в) 32/3; г) π + 1.
