35. Докажите, что: а) в арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних; б) в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних; в) в последовательности чисел \(1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\) каждый член, начиная со второго, является средним гармоническим двух соседних. Придумайте последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, является средним квадратичным двух соседних.

а) Пусть арифметическая прогрессия имеет первый член \(a_1\) и разность \(d\). Тогда для любого \(n\ge2\):

\(a_{n-1}=a_n-d\), \(a_{n+1}=a_n+d\).

Следовательно, \(\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=\dfrac{(a_n-d)+(a_n+d)}2=a_n\). Значит, каждый член, начиная со второго, — среднее арифметическое соседних.

б) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель \(q\). Тогда \(a_{n-1}=\dfrac{a_n}{q}\) и \(a_{n+1}=a_nq\), поэтому

\(a_{n-1}a_{n+1}=\dfrac{a_n}{q}\cdot a_nq=a_n^2\).

Значит, \(a_n\) является средним геометрическим соседних членов: \(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\). Для неотрицательных членов это равносильно \(a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}\).

в) Обозначим \(a_n=\dfrac1n\). Для \(n\ge2\) среднее гармоническое соседних членов равно

\(\dfrac{2a_{n-1}a_{n+1}}{a_{n-1}+a_{n+1}}=\dfrac{2\cdot\frac1{n-1}\cdot\frac1{n+1}}{\frac1{n-1}+\frac1{n+1}}=\dfrac{\frac2{n^2-1}}{\frac{2n}{n^2-1}}=\dfrac1n=a_n\).

Последовательность со средним квадратичным. Возьмём \(a_n=\sqrt n\), то есть \(1,\sqrt2,\sqrt3,2,\sqrt5,\ldots\). Для любого \(n\ge2\):

\(\sqrt{\dfrac{a_{n-1}^2+a_{n+1}^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{n-1+n+1}{2}}=\sqrt n=a_n\).

Следовательно, каждый член этой последовательности, начиная со второго, является средним квадратичным двух соседних.