349 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение:

Рассмотрим точку А на окружности. Из А проведены касательная и хорда, длина которой равна радиусу окружности.

1. Пусть O — центр окружности, R — её радиус.
2. Пусть хорда AB = R. Треугольник OAB равнобедренный (OA = OB = R).
3. Угол OAB = Угол OBA = \( \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} \).
4. Касательная в точке А перпендикулярна радиусу OA. Пусть точка касания — точка T. Угол OAT = 90°.
5. Угол между касательной и хордой АТВ равен углу, опирающемуся на хорду АВ в противоположном сегменте.
6. В равнобедренном треугольнике OAB, если все стороны равны R, то это равносторонний треугольник. Следовательно, \( \angle AOB = 60^\circ \).
7. Угол OAB = Угол OBA = \( \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \).
8. Угол между касательной (АТ) и хордой (АВ) равен \( \angle TAB \).
9. \( \angle TAB = \angle OAT - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Ответ: 30°.