345 Докажите, что касательные, проведённые через концы диаметра окружности, параллельны.

Доказательство:

Пусть \( AB \) — диаметр окружности с центром в точке \( O \).

Пусть прямая \( m \) — касательная к окружности в точке \( A \), а прямая \( n \) — касательная к окружности в точке \( B \).

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Следовательно, \( OA \perp m \) и \( OB \perp n \).

Так как \( AB \) — диаметр, то точки \( A, O, B \) лежат на одной прямой, и \( OA \) и \( OB \) являются частью одной прямой, перпендикулярной обеим касательным.

Прямая \( OA \) (или \( AB \)) перпендикулярна касательной \( m \) в точке \( A \).

Прямая \( OB \) (или \( AB \)) перпендикулярна касательной \( n \) в точке \( B \).

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Следовательно, прямая \( m \) параллельна прямой \( n \).

Что и требовалось доказать.