344 Симметричную монету бросают трижды. Случайная величина Х — числу орлов, выпавших при первом броске, а Y — число бросков до момента, когда одна из сторон выпадет во второй раз. Составьте таблицу совместного распределения этих случайных величин.

Решение:

Симметричную монету бросают трижды. Возможные исходы:

ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР.

Случайная величина X — число орлов, выпавших при первом броске. X может принимать значения 0 (если первый бросок — решка) или 1 (если первый бросок — орёл).

Случайная величина Y — число бросков до момента, когда одна из сторон выпадет во второй раз.

Рассмотрим возможные случаи для Y:

• Y = 2: Это происходит, когда первые два броска одинаковые (ОО или РР).
• Y = 3: Это происходит, когда первые два броска разные, а третий совпадает с одним из них (например, ОРР — вторая сторона (Р) выпала второй раз на 3-м броске; РОO — вторая сторона (О) выпала второй раз на 3-м броске).

Теперь составим таблицу совместного распределения X и Y.

Случай 1: X = 1 (первый бросок — орёл).

Исходы, начинающиеся с О: ООО, ООP, ОРО, ОРР.

• X=1, Y=2: Первые два броска — орлы (ОО). Этот случай соответствует исходу ООО. Вероятность \( P(X=1, Y=2) = P(ООО) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).
• X=1, Y=3: Первые два броска разные (ОP), а третий бросок совпадает с первым (Р), чтобы вторая сторона (Р) выпала во второй раз. Это соответствует исходу OPP. Или первые два броска одинаковые (ОО), а третий отличается (О), что не подходит для Y=3. Если первые два броска ОР, а третий О - это ОРО. Здесь второе появление О произошло на 3-м броске. Вероятность \( P(X=1, Y=3) = P(ORO) + P(OPP) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \).

Случай 2: X = 0 (первый бросок — решка).

Исходы, начинающиеся с Р: РОО, РОР, РРО, РРР.

• X=0, Y=2: Первые два броска — решки (РР). Этот случай соответствует исходу РРР. Вероятность \( P(X=0, Y=2) = P(РРР) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).
• X=0, Y=3: Первые два броска разные (РО), а третий бросок совпадает с первым (О), чтобы вторая сторона (О) выпала во второй раз. Это соответствует исходу РОО. Или первые два броска РР, а третий отличается (Р) - это РРР. Если первые два броска РО, а третий Р - это РОР. Здесь второе появление Р произошло на 3-м броске. Вероятность \( P(X=0, Y=3) = P(ROP) + P(ROO) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \).

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:

\( P(X=1, Y=2) + P(X=1, Y=3) + P(X=0, Y=2) + P(X=0, Y=3) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1+2+1+2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).

Внимание: Определение Y может быть интерпретировано по-разному. Если Y — это номер броска, на котором произошло второе появление ОДНОЙ ИЗ сторон (первое появление любой стороны, второе — той же самой), то:

X=1 (первый бросок - О):

• ООО (Y=2) - P=1/8
• ООP (Y=2) - P=1/8
• ОРО (Y=3) - P=1/8
• ОРР (Y=3) - P=1/8

X=0 (первый бросок - Р):

• РОО (Y=3) - P=1/8
• РОP (Y=3) - P=1/8
• РРО (Y=3) - P=1/8
• РРР (Y=2) - P=1/8

В этом случае:

• \( P(X=1, Y=2) = P(OOO) + P(OOP) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \).
• \( P(X=1, Y=3) = P(ORO) + P(ORP) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \).
• \( P(X=0, Y=2) = P(RRP) = \frac{1}{8} \).
• \( P(X=0, Y=3) = P(ROO) + P(ROP) + P(RRO) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \).

Сумма вероятностей: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+2+1+3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

Давайте предположим, что Y — это номер броска, на котором произошло второе появление любой из сторон. То есть, если первые два броска разные, то Y=3. Если первые два броска одинаковые, то Y=2.

X = 1 (первый бросок - О):

• ООО: Y=2. P = 1/8
• ООP: Y=2. P = 1/8
• ОРО: Y=3. P = 1/8
• ОРР: Y=3. P = 1/8

X = 0 (первый бросок - Р):

• РОО: Y=3. P = 1/8
• РОP: Y=3. P = 1/8
• РРО: Y=3. P = 1/8
• РРР: Y=2. P = 1/8

Тогда:

• \( P(X=1, Y=2) = P(OOO) + P(OOP) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \).
• \( P(X=1, Y=3) = P(ORO) + P(ORP) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \).
• \( P(X=0, Y=2) = P(RRP) = \frac{1}{8} \).
• \( P(X=0, Y=3) = P(ROO) + P(ROP) + P(RRO) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \).

Таблица совместного распределения (при интерпретации Y как номера броска, на котором произошло второе появление одной из сторон):

Ответ: Таблица совместного распределения представлена выше.