335 Докажите, что если распределение случайной величины Х симметрично относительно числа а, то EX = a.

Решение:

Случайная величина \( X \) называется симметричной относительно числа \( a \), если для любого \( Δ > 0 \) выполняется условие \( P(X = a + Δ) = P(X = a - Δ) \).

Математическое ожидание \( E(X) \) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

\[ E(X) = Σ_{i} x_i P(X = x_i) \]

Рассмотрим случай, когда \( X \) принимает значения \( x_1, x_2, …, x_n \) с вероятностями \( P(X=x_i) \).

Если распределение симметрично относительно \( a \), то значения \( x_i \) можно сгруппировать по парам \( (a + Δ_k, a - Δ_k) \), где \( Δ_k > 0 \), и вероятности этих значений равны: \( P(X = a + Δ_k) = P(X = a - Δ_k) \).

Тогда вклад каждой такой пары в математическое ожидание будет:

\[ (a + Δ_k) P(X = a + Δ_k) + (a - Δ_k) P(X = a - Δ_k) \]

Заменяя \( P(X = a - Δ_k) \) на \( P(X = a + Δ_k) \), получаем:

\[ (a + Δ_k) P(X = a + Δ_k) + (a - Δ_k) P(X = a + Δ_k) \]

\[ = P(X = a + Δ_k) · [(a + Δ_k) + (a - Δ_k)] \]

\[ = P(X = a + Δ_k) · [2a] \]

Суммируя по всем таким парам \( k \), и добавляя возможное значение \( a \) (если оно входит в диапазон значений \( X \) с ненулевой вероятностью, то \( P(X=a) \)), получим:

\[ E(X) = Σ_{k} [2a P(X = a + Δ_k)] + a P(X = a) \]

\[ E(X) = 2a Σ_{k} P(X = a + Δ_k) + a P(X = a) \]

Сумма всех вероятностей \( P(X = a + Δ_k) \) для всех \( k \) плюс вероятность \( P(X = a) \) равна 1 (полная вероятность).

\[ E(X) = 2a · \frac{1}{2} + a · 0 \]

Если \( a \) является одним из возможных значений \( X \) с вероятностью \( P(X=a) \), то \( E(X) = Σ_{k} (a + Δ_k) P(X = a + Δ_k) + Σ_{k} (a - Δ_k) P(X = a - Δ_k) + a P(X=a) \).

Перегруппируем члены:

\[ E(X) = Σ_{k} [(a + Δ_k) P(X = a + Δ_k) + (a - Δ_k) P(X = a - Δ_k)] + a P(X=a) \]

По условию симметричности \( P(X = a + Δ_k) = P(X = a - Δ_k) \).

\[ E(X) = Σ_{k} [(a + Δ_k) P(X = a + Δ_k) + (a - Δ_k) P(X = a + Δ_k)] + a P(X=a) \]

\[ E(X) = Σ_{k} [a P(X = a + Δ_k) + Δ_k P(X = a + Δ_k) + a P(X = a + Δ_k) - Δ_k P(X = a + Δ_k)] + a P(X=a) \]

\[ E(X) = Σ_{k} [2a P(X = a + Δ_k)] + a P(X=a) \]

\[ E(X) = 2a Σ_{k} P(X = a + Δ_k) + a P(X=a) \]

Так как \( Σ_{k} P(X = a + Δ_k) + P(X=a) = 1 \), то \( Σ_{k} P(X = a + Δ_k) = 1 - P(X=a) \).

\[ E(X) = 2a (1 - P(X=a)) + a P(X=a) \]

\[ E(X) = 2a - 2a P(X=a) + a P(X=a) \]

\[ E(X) = 2a - a P(X=a) \]

Это не ведет к \( E(X) = a \). Пересмотрим подход.

Другой подход:

Пусть \( Y = X - a \). Тогда \( X = Y + a \). Распределение \( Y \) также симметрично, но относительно 0. Это означает, что \( P(Y = Δ) = P(Y = -Δ) \) для любого \( Δ \).

Математическое ожидание \( Y \) равно 0, так как оно симметрично относительно 0:

\[ E(Y) = Σ_{i} y_i P(Y = y_i) = Σ_{Δ > 0} (Δ P(Y=Δ) + (-Δ) P(Y=-Δ)) + (0 · P(Y=0)) \]

\[ E(Y) = Σ_{Δ > 0} (Δ P(Y=Δ) - Δ P(Y=Δ)) = Σ_{Δ > 0} (0) = 0 \]

Теперь используем свойство линейности математического ожидания:

\[ E(X) = E(Y + a) = E(Y) + E(a) \]

Поскольку \( a \) — константа, \( E(a) = a \).

\[ E(X) = 0 + a = a \]

Таким образом, если распределение случайной величины \( X \) симметрично относительно числа \( a \), то \( E(X) = a \).

Ответ: Доказано, что \( E(X) = a \).