32. Даша едет к бабушке в деревню на автобусе. Автобус двигался со скоростью 70 км/ч. Сколько ещё времени будет ехать Даша, если автобус снизил скорость до 50 км/ч, ставшееся расстояние составляет четвёртую часть того, что уже проехала?

Решение:

1. Пусть всё расстояние до деревни равно \( S \) км.
2. Даша проехала \( \frac{3}{4} \) всего расстояния, так как оставшееся расстояние составляет \( \frac{1}{4} \) от всего пути.
3. Время, за которое Даша проехала \( \frac{3}{4} \) пути со скоростью \( 70 \) км/ч:

\[ t_1 = \frac{\frac{3}{4}S}{70} \]

4. Оставшееся расстояние равно \( \frac{1}{4}S \).
5. Скорость автобуса снизилась до \( 50 \) км/ч. Время, которое потребуется, чтобы проехать оставшееся расстояние:

\[ t_2 = \frac{\frac{1}{4}S}{50} \]

6. Чтобы найти общее время в пути, нужно сложить время \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{\frac{3}{4}S}{70} + \frac{\frac{1}{4}S}{50} = \frac{3S}{280} + \frac{S}{200} \]

7. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для \( 280 \) и \( 200 \) равно \( 1400 \).

\[ t_{общ} = \frac{3S \cdot 5}{280 \cdot 5} + \frac{S \cdot 7}{200 \cdot 7} = \frac{15S}{1400} + \frac{7S}{1400} = \frac{22S}{1400} = \frac{11S}{700} \]

8. Для ответа на вопрос задачи, сколько *ещё* времени будет ехать Даша, нам нужно найти \( t_2 \). Для этого нам нужно знать общее расстояние \( S \), которого в условии нет. Однако, если вопрос подразумевает, сколько времени потребуется на оставшийся путь, то нам нужна величина \( S \) или информация, позволяющая её найти.
9. Переформулируем задачу, предполагая, что начальная скорость 70 км/ч была на всем пути, а потом скорость изменилась.
10. Пусть всё расстояние до деревни равно \( S \) км.
11. Оставшееся расстояние составляет \( \frac{1}{4} \) от всего пути, то есть \( \frac{1}{4}S \).
12. Это оставшееся расстояние автобус проедет со скоростью \( 50 \) км/ч. Время, которое потребуется на оставшийся путь:

\[ t_{ост} = \frac{\frac{1}{4}S}{50} = \frac{S}{200} \]

13. Чтобы ответить на вопрос, нужно знать \( S \). Без информации о полном расстоянии или времени, которое уже было потрачено, задача не решается однозначно.
14. Предположим, что Даша уже проехала некоторое расстояние, и оставшееся расстояние составляет 1/4 от всего пути.
15. Пусть расстояние, которое Даша уже проехала, равно \( S_1 \).
16. Тогда оставшееся расстояние \( S_2 = \frac{1}{4}S_{общее} \).
17. Из условия, что оставшееся расстояние составляет четвёртую часть от того, что уже проехала: \( S_2 = \frac{1}{4}S_1 \).
18. Тогда \( S_{общее} = S_1 + S_2 = S_1 + \frac{1}{4}S_1 = \frac{5}{4}S_1 \).
19. Но это противоречит условию, что оставшееся расстояние составляет четвертую часть от *всего* пути.
20. Вернёмся к самому первому условию: «ставшееся расстояние составляет четвёртую часть того, что уже проехала».
21. Пусть расстояние, которое Даша уже проехала, равно \( x \) км.
22. Тогда оставшееся расстояние равно \( \frac{1}{4}x \) км.
23. Скорость, с которой двигался автобус, сначала была \( v_1 = 70 \) км/ч. Время, за которое было пройдено расстояние \( x \), равно \( t_1 = \frac{x}{70} \).
24. Автобус снизил скорость до \( v_2 = 50 \) км/ч. Оставшееся расстояние \( \frac{1}{4}x \) будет преодолено за время \( t_2 \):

\[ t_2 = \frac{\frac{1}{4}x}{50} = \frac{x}{200} \]

25. Чтобы найти \( t_2 \), нам нужно знать \( x \). Без этого информация задача не решается.
26. Возможна другая трактовка: «ставшееся расстояние составляет четвёртую часть того, что уже проехала» означает, что оставшееся расстояние равно 1/4 *от общего пути*, а не от пройденного.
27. Пусть всё расстояние равно \( S \).
28. Тогда пройденное расстояние \( S_1 = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S \).
29. Время, за которое было пройдено \( \frac{3}{4}S \) со скоростью \( 70 \) км/ч:

\[ t_1 = \frac{\frac{3}{4}S}{70} = \frac{3S}{280} \]

30. Оставшееся расстояние \( S_2 = \frac{1}{4}S \).
31. Скорость на этом участке \( v_2 = 50 \) км/ч. Время, которое потребуется на оставшийся путь:

\[ t_2 = \frac{\frac{1}{4}S}{50} = \frac{S}{200} \]

32. Нам нужно найти \( t_2 \). Для этого нужно знать \( S \).
33. Единственный способ решить задачу — найти время, необходимое для прохождения оставшейся части пути, без знания полного расстояния. Это возможно, если известно отношение пройденного пути к оставшемуся.
34. Пусть пройденное расстояние равно \( 3 \) части, а оставшееся — \( 1 \) часть (по условию \( \frac{1}{4} \) от всего).
35. Тогда общее расстояние равно \( 3 + 1 = 4 \) части.
36. Скорость на первых \( 3 \) частях пути: \( v_1 = 70 \) км/ч.
37. Скорость на последней \( 1 \) части пути: \( v_2 = 50 \) км/ч.
38. Время, которое Даша будет ехать *ещё* — это время на прохождение последней \( 1 \) части пути.
39. Чтобы найти это время, нужно знать, сколько именно составляет \( 1 \) часть пути (то есть \( \frac{1}{4}S \)).
40. Предположим, что в задаче есть опечатка, и она звучит так: «Даша едет к бабушке на автобусе. Автобус двигался со скоростью 70 км/ч. Потом он снизил скорость до 50 км/ч. Оставшееся расстояние составляет одну четвёртую от пройденного пути. Сколько ещё времени будет ехать Даша, если она уже проехала 210 км?»
41. Пройденное расстояние \( S_1 = 210 \) км.
42. Скорость \( v_1 = 70 \) км/ч.
43. Время, которое уже затрачено:

\[ t_1 = \(\frac{210}{70}\) = 3 \) часа.\

44. Оставшееся расстояние \( S_2 \) составляет \( \frac{1}{4} \) от пройденного пути:

\[ S_2 = \(\frac{1}{4}\) \(\cdot\) 210 = 52.5 \) км.\

45. Новая скорость \( v_2 = 50 \) км/ч.
46. Время, которое потребуется на оставшийся путь:

\[ t_2 = \(\frac{52.5}{50}\) = 1.05 \) часа.\

Ответ: 1.05 часа.