32. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в два с половиной раза ниже второй, а вторая в два раза уже первой. Во сколько раз объём второй коробки меньше объёма первой?

Решение:

Обозначим:

• Высоту первой коробки как \( h_1 \)
• Высоту второй коробки как \( h_2 \)
• Ширину основания первой коробки как \( a_1 \)
• Ширину основания второй коробки как \( a_2 \)
• Объём первой коробки как \( V_1 \)
• Объём второй коробки как \( V_2 \)

По условию задачи:

• Первая коробка в 2,5 раза ниже второй: \( h_1 = 2.5 \times h_2 \)
• Вторая коробка в 2 раза уже первой: \( a_2 = 0.5 \times a_1 \)

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле: \( V = a^2 \times h \), где \( a \) — сторона основания, \( h \) — высота.

Таким образом:

• \( V_1 = a_1^2 \times h_1 \)
• \( V_2 = a_2^2 \times h_2 \)

Подставим известные соотношения во второй объём:

\( V_2 = (0.5 \times a_1)^2 \times h_2 \)

\( V_2 = (0.25 \times a_1^2) \times h_2 \)

Теперь нам нужно выразить \( h_2 \) через \( h_1 \) и \( a_1 \) через \( a_2 \) для сравнения объёмов. Удобнее выразить \( V_1 \) через \( V_2 \) или наоборот. Выразим \( h_2 \) и \( a_1 \):

• \( h_2 = \frac{h_1}{2.5} = 0.4 \times h_1 \)
• \( a_1 = 2 \times a_2 \)

Теперь подставим эти значения в формулу для \( V_1 \), чтобы сравнить с \( V_2 \):

\( V_1 = (2 \times a_2)^2 \times (0.4 \times h_1) \)

\( V_1 = (4 \times a_2^2) \times (0.4 \times h_1) \)

\( V_1 = 1.6 \times a_2^2 \times h_1 \)

Это не совсем удобно. Давайте выразим \( V_1 \) и \( V_2 \) через общие параметры, например, \( a_2 \) и \( h_2 \) как базовые.

Из условия \( a_1 = 2 \times a_2 \) и \( h_1 = 2.5 \times h_2 \).

\( V_1 = a_1^2 \times h_1 = (2 \times a_2)^2 \times (2.5 \times h_2) = 4 \times a_2^2 \times 2.5 \times h_2 = 10 \times a_2^2 \times h_2 \)

\( V_2 = a_2^2 \times h_2 \)

Теперь сравним \( V_1 \) и \( V_2 \):

\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{10 \times a_2^2 \times h_2}{a_2^2 \times h_2} = 10 \)

Это означает, что объём первой коробки в 10 раз больше объёма второй.

Следовательно, объём второй коробки в 10 раз меньше объёма первой.

Ответ: объём второй коробки в 10 раз меньше объёма первой.