32.52. Постройте график функции: 1) y = (2x-1)(4x² + 2x + 1) - 8x³; 2) y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)²; 3) y = (0,5x + 2)² - (0,5x-1)(0,5x + 1).

Решение:

1) \( y = (2x-1)(4x² + 2x + 1) - 8x³ \)

Раскроем скобки, используя формулу разности кубов: \( a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) \). В данном случае \( a = 2x \) и \( b = 1 \).

\( (2x - 1)((2x)² + 2x 1 + 1²) = (2x)³ - 1³ = 8x³ - 1 \).

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\( y = (8x³ - 1) - 8x³ \)

\( y = 8x³ - 1 - 8x³ \)

\( y = -1 \)

Это уравнение прямой линии, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку \( (0, -1) \).

2) \( y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)² \)

Раскроем скобки:

\( (x + 1)(x + 4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4 \)

\( (x + 3)² = x² + 6x + 9 \)

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\( y = (x² + 5x + 4) - (x² + 6x + 9) \)

\( y = x² + 5x + 4 - x² - 6x - 9 \)

\( y = (x² - x²) + (5x - 6x) + (4 - 9) \)

\( y = 0 - x - 5 \)

\( y = -x - 5 \)

Это уравнение прямой линии.

Найдем точки для построения графика:

• Если \( x = -5 \), то \( y = -(-5) - 5 = 5 - 5 = 0 \). Точка \( (-5, 0) \).
• Если \( x = 0 \), то \( y = -(0) - 5 = -5 \). Точка \( (0, -5) \).

3) \( y = (0,5x + 2)² - (0,5x-1)(0,5x + 1) \)

Раскроем скобки:

\( (0.5x + 2)² = (0.5x)² + 2 0.5x 2 + 2² = 0.25x² + 2x + 4 \)

\( (0.5x - 1)(0.5x + 1) \) — это формула разности квадратов: \( a² - b² \). Здесь \( a = 0.5x \) и \( b = 1 \).

\( (0.5x - 1)(0.5x + 1) = (0.5x)² - 1² = 0.25x² - 1 \)

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\( y = (0.25x² + 2x + 4) - (0.25x² - 1) \)

\( y = 0.25x² + 2x + 4 - 0.25x² + 1 \)

\( y = (0.25x² - 0.25x²) + 2x + (4 + 1) \)

\( y = 0 + 2x + 5 \)

\( y = 2x + 5 \)

Это уравнение прямой линии.

Найдем точки для построения графика:

• Если \( x = -2.5 \), то \( y = 2(-2.5) + 5 = -5 + 5 = 0 \). Точка \( (-2.5, 0) \).
• Если \( x = 0 \), то \( y = 2(0) + 5 = 5 \). Точка \( (0, 5) \).