319. Найдите такое положительное рациональное число a, чтобы сумма 1,(23) + a была числом: а) рациональным; б) иррациональным.

Периодическая десятичная дробь рациональна: \(1,(23)=1+\frac{23}{99}=\frac{122}{99}\).

а) Возьмём \(a=1\). Тогда \(1,(23)+a=\frac{221}{99}\), рациональное число.

б) По условию a должно быть рациональным, поэтому сумма рационального числа \(1,(23)\) и a всегда рациональна. Получить иррациональную сумму невозможно.

Ответ: а) например, \(a=1\); б) такого положительного рационального числа a не существует.