317. Найдите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами: а) 1,02 и 1,0(2); б) 2/7 и 1/4; в) 1,4(78) и 1,478778777…; г) 4,4(3) и 4,43443444….

Конечные десятичные дроби и периодические десятичные дроби — рациональные числа. Для каждого промежутка приведём также два иррациональных числа: их десятичные записи бесконечны и непериодичны.

1. а) Между 1,02 и 1,0(2) = 1,02222… подходят рациональные числа 1,021 и 1,022. Иррациональные числа: 1,0201001000100001… и 1,021001001000100001… .
2. б) Поскольку 1/4 = 0,25, а 2/7 = 0,285714…, подходят рациональные числа 0,26 и 0,27. Иррациональные числа: 0,2601001000100001… и 0,2701001000100001… .
3. в) Здесь 1,478778777… < 1,4(78) = 1,478787878… . Между ними подходят рациональные числа 1,47878 и 1,478785. Иррациональные числа: 1,478779010010001… и 1,4787810010010001… .
4. г) Здесь 4,4(3) = 4,43333… < 4,43443444… . Подходят рациональные числа 4,4335 и 4,434. Иррациональные числа: 4,4334010010001… и 4,43390010010001… .

В десятичных записях иррациональных чисел после указанного начала продолжается непериодический узор с возрастающими группами нулей; поэтому эти числа иррациональны.