31 Подчеркни выражение, значение которого не изменится, если убрать скобки.

Решение:

Нужно найти такие выражения, в которых раскрытие скобок не повлияет на результат. Это возможно, если операция внутри скобок выполняется первой, а операция вне скобок является обратной к одной из операций внутри скобок, или если выражение имеет вид \( a \cdot (b:c) \) или \( (a:b) \cdot c \) и т.д., но в данном случае мы ищем, где удаление скобок не меняет значение.

Рассмотрим выражения:

• \( (70+28):7 \) — если убрать скобки, получится \( 70+28:7 \). Так как деление имеет приоритет над сложением, значение изменится.
• \( 70 \cdot (28+7) \) — если убрать скобки, получится \( 70 \cdot 28+7 \). Здесь умножение будет выполнено первым, а затем прибавлено 7, что отличается от исходного выражения, где сначала выполняется сложение в скобках, а потом умножение.
• \( (70-28):7 \) — если убрать скобки, получится \( 70-28:7 \). Значение изменится, так как деление имеет приоритет над вычитанием.
• \( 70:(28:7) \) — если убрать скобки, получится \( 70:28:7 \). В данном случае, из-за ассоциативности операции деления, значение не изменится. Также, это выражение можно переписать как \( 70 \cdot \frac{1}{28} \cdot \frac{1}{7} \). Исходное выражение \( 70:(28:7) \) можно интерпретировать как \( 70 \cdot \frac{1}{(28:7)} \). Операция деления \( 28:7 \) выполняется первой. А \( 70:28:7 \) выполняется последовательно слева направо. \( 28:7 = 4 \), \( 70:4 = 17.5 \). \( 70:28 = 2.5 \), \( 2.5:7 \approx 0.357 \). Это не совсем тот случай.

Пересмотрим условие: "значение которого не изменится, если убрать скобки".

Давайте разберем подробно:

1. \( (70+28):7 = 98:7 = 14 \)
2. \( 70+28:7 = 70+4 = 74 \) (значение изменилось)
3. \( 70 · (28+7) = 70 · 35 = 2450 \)
4. \( 70 · 28+7 = 1960+7 = 1967 \) (значение изменилось)
5. \( (70-28):7 = 42:7 = 6 \)
6. \( 70-28:7 = 70-4 = 66 \) (значение изменилось)
7. \( 70:(28:7) = 70:4 = 17.5 \)
8. \( 70:28:7 \) (выполняется слева направо) \( 70:28 = 2.5 \), \( 2.5:7 \approx 0.357 \) (значение изменилось)

Возможно, в последнем выражении имелось в виду \( 70 · (28:7) \) или \( (70 · 28) : 7 \) ?

Если посмотреть на варианты, которые не меняются при удалении скобок, это те случаи, когда порядок действий не меняется. Приоритет имеют умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Рассмотрим ассоциативность:

• \( a · (b · c) = (a · b) · c \)
• \( a : (b : c) \) не равно \( (a : b) : c \)
• \( a + (b + c) = (a + b) + c \)
• \( a - (b - c) \) не равно \( (a - b) - c \)

В данном задании, если убрать скобки, порядок действий изменится, если операция в скобках имеет меньший приоритет, чем операция вне скобок.

Рассмотрим случай, когда операции одинаковые:

• \( (70+28)+7 = 105 \)
• \( 70+(28+7) = 70+35 = 105 \)
• \( (70 · 28) · 7 = 1960 · 7 = 13720 \)
• \( 70 · (28 · 7) = 70 · 196 = 13720 \)

В нашем случае есть разные операции.

Выражение \( 70:(28:7) \) — значение не изменится, если мы запишем его как \( 70 · \frac{1}{28} \) и \( \frac{70}{28}:7 \) или \( \frac{70}{28 \cdot 7} \).

Если выражение \( 70:(28:7) \) записать как \( 70:28:7 \), то это \( (70:28):7 \), потому что деление выполняется слева направо.

\( 70:(28:7) = 70:4 = 17.5 \)

\( (70:28):7 = 2.5:7 \approx 0.357 \)

Значения отличаются. Следовательно, последняя строка \( 70.(28:7) \) — это умножение. Если убрать скобки, получится \( 70.28:7 \) (одинаковые операции, выполняются слева направо).

\( 70 · (28:7) = 70 · 4 = 280 \)

\( (70 · 28) : 7 = 1960 : 7 = 280 \)

В этом случае (последняя строка) значение выражения не изменится, если убрать скобки.

Подчеркнём: 70 · (28:7)

Ответ: 70 · (28:7)