31. Плоскость α параллельна стороне BC треугольника ABC и проходит через середину стороны AB. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны AC.

Обозначим через \(M\) середину стороны \(AB\).

1. Плоскость \(ABC\) пересекает плоскость \(\alpha\) по некоторой прямой \(MN\), проходящей через точку \(M\), поскольку \(M \in AB \subset (ABC)\) и \(M \in \alpha\).
2. Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(BC\), лежащей в плоскости \(ABC\). Поэтому линия пересечения \(MN\) параллельна \(BC\): \(MN \parallel BC\).
3. Точка \(N\) лежит на стороне \(AC\), так как это точка пересечения прямой \(MN\) с плоскостью треугольника и при этом \(MN \parallel BC\).
4. В треугольнике \(ABC\) через середину стороны \(AB\) проведена прямая \(MN\), параллельная стороне \(BC\). По теореме о средней линии треугольника точка \(N\) является серединой стороны \(AC\).
5. Так как \(N \in MN \subset \alpha\), то плоскость \(\alpha\) проходит через середину стороны \(AC\).

Что и требовалось доказать.