309. Докажите, что значение выражения (x - 1)² - 3(x - 1)² - 6(x² – 1) – 8 не зависит от значения переменной.

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение и показать, что переменная \( x \) исчезает.

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) и разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Также заметим, что \( (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \) и \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \).

Исходное выражение:

\[ (x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \]

Сначала объединим подобные члены \( (x - 1)^2 \):

\[ (1 - 3)(x - 1)^2 - 6(x^2 - 1) – 8 \]

\[ -2(x - 1)^2 - 6(x^2 - 1) – 8 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ -2(x^2 - 2x + 1) - 6x^2 + 6 – 8 \]

\[ -2x^2 + 4x - 2 - 6x^2 + 6 – 8 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (-2x^2 - 6x^2) + 4x + (-2 + 6 - 8) \]

\[ -8x^2 + 4x - 4 \]

Проверка: Ошибка в раскрытии скобок \( -6(x^2-1) \) и в последней группировке. Вернёмся к шагу раскрытия скобок.

Исходное выражение:

\[ (x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \]

Объединим первые два слагаемых:

\[ -2(x - 1)^2 - 6(x^2 - 1) - 8 \]

Раскроем \( (x - 1)^2 \):

\[ -2(x^2 - 2x + 1) - 6(x^2 - 1) - 8 \]

Раскроем скобки:

\[ -2x^2 + 4x - 2 - 6x^2 + 6 - 8 \]

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

\[ (-2x^2 - 6x^2) + 4x + (-2 + 6 - 8) \]

\[ -8x^2 + 4x - 4 \]

Обнаружена ошибка в условии задачи или в моем рассуждении. Давайте перепроверим раскрытие скобок.

Перепроверка:

\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]

\[ -3(x - 1)^2 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3x^2 + 6x - 3 \]

\[ -6(x^2 - 1) = -6x^2 + 6 \]

Сложим все части:

\[ (x^2 - 2x + 1) + (-3x^2 + 6x - 3) + (-6x^2 + 6) - 8 \]

\[ x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x - 3 - 6x^2 + 6 - 8 \]

Сгруппируем члены с \( x^2 \), члены с \( x \) и свободные члены:

\[ (x^2 - 3x^2 - 6x^2) + (-2x + 6x) + (1 - 3 + 6 - 8) \]

\[ (1 - 3 - 6)x^2 + (-2 + 6)x + (1 - 3 + 6 - 8) \]

\[ -8x^2 + 4x - 4 \]

Замечание: Я все еще получаю выражение, зависящее от \( x \). Есть вероятность, что в условии задачи ошибка. Если бы, например, было \( -2(x-1)^2 + 2(x-1)^2 \) или \( -6x^2 + 6x^2 \) тогда бы \(x \) сократилось. Однако, я буду действовать строго по предоставленному условию.

Перепроверка по формулам:

Let's expand and simplify the expression step-by-step:

\[ E = (x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \]

Combine the first two terms:

\[ E = (1 - 3)(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \]

\[ E = -2(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \]

Expand \( (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \):

\[ E = -2(x^2 - 2x + 1) - 6(x^2 – 1) – 8 \]

Distribute the constants:

\[ E = -2x^2 + 4x - 2 - 6x^2 + 6 – 8 \]

Combine like terms:

\[ E = (-2x^2 - 6x^2) + 4x + (-2 + 6 - 8) \]

\[ E = -8x^2 + 4x - 4 \]

Вывод: Данное выражение, как оно представлено в условии, зависит от значения переменной \( x \) и упрощается до \( -8x^2 + 4x - 4 \). Следовательно, утверждение о том, что оно не зависит от значения переменной, неверно для данного выражения.

Предполагаемая ошибка в условии: Если бы выражение было, например, \( (x-1)^2 - 3(x-1)^2 + 2(x-1)^2 - 6(x^2 - 1) + 6x^2 \), тогда:

\[ (1 - 3 + 2)(x-1)^2 + (-6+6)x^2 \]

\[ 0 · (x-1)^2 + 0 · x^2 = 0 \]

В этом случае результат был бы 0, не зависящий от \( x \).

Исходя из предоставленного текста, доказать, что значение выражения не зависит от переменной, невозможно, так как оно зависит от \( x \).

Повторная попытка с возможным переосмыслением:

Возможно, подразумевалось, что \( (x-1)^2 \) и \( x^2-1 \) будут раскрыты и приведут к сокращению \( x \). Перепроверим раскрытие скобок и группировку.

\[ (x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 - 2x + 1) - 6(x^2 - 1) - 8 \]

\[ x^2 - 2x + 1 - 3x^2 + 6x - 3 - 6x^2 + 6 - 8 \]

Соберем все члены с \( x^2 \): \( x^2 - 3x^2 - 6x^2 = (1 - 3 - 6)x^2 = -8x^2 \).

Соберем все члены с \( x \): \( -2x + 6x = 4x \).

Соберем свободные члены: \( 1 - 3 + 6 - 8 = -4 \).

Получаем: \( -8x^2 + 4x - 4 \). Это выражение зависит от \( x \).

Заключение: Согласно предоставленному условию, выражение \( (x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 – 1) – 8 \) упрощается до \( -8x^2 + 4x - 4 \), которое зависит от \( x \). Следовательно, утверждение задачи некорректно для данного выражения.

При условии, что в условии задачи есть опечатка и оно должно было выглядеть иначе, чтобы зависимость от \( x \) исчезла, я не могу его доказать. Однако, если бы задача была, например, доказать, что \( (x-1)^2 - 3(x-1)^2 + 2(x-1)^2 \) не зависит от \( x \), то:

\[ (1 - 3 + 2)(x-1)^2 = 0 · (x-1)^2 = 0 \]

В этом случае результат равен 0 и не зависит от \( x \).

В данном случае, я не могу выполнить требование задачи.