301. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Дано: Отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$ и угол $$hk$$. Требуется построить треугольник $$ABC$$, у которого одна из сторон, скажем $$AB$$, равна отрезку $$P_1Q_1$$; один из прилежащих к ней углов, например угол $$A$$, равен данному углу $$hk$$; а высота $$CH$$, проведённая к стороне $$AB$$, равна данному отрезку $$P_2Q_2$$.

Построение (Рис. 150, б):

1. Построим угол $$XAY$$, равный данному углу $$hk$$.
2. На луче $$AX$$ отложим отрезок $$AB$$, равный данному отрезку $$P_1Q_1$$.
3. Теперь нам нужно найти вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$. Мы знаем, что высота $$CH$$ должна быть равна $$P_2Q_2$$. Это значит, что точка $$C$$ должна находиться на расстоянии $$P_2Q_2$$ от прямой $$AB$$.
4. Множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от прямой и лежащих по одну сторону от нее, представляет собой прямую, параллельную данной. Поэтому, построим прямую $$p$$, параллельную прямой $$AB$$ и находящуюся на расстоянии $$P_2Q_2$$ от $$AB$$.
5. Искомая вершина $$C$$ является точкой пересечения прямой $$p$$ и луча $$AY$$.

Обоснование:

• По построению, угол $$A$$ равен углу $$XAY$$, который равен данному углу $$hk$$.
• Отрезок $$AB$$ равен данному отрезку $$P_1Q_1$$.
• Точка $$C$$ лежит на прямой $$p$$, которая параллельна $$AB$$ и находится на расстоянии $$P_2Q_2$$ от нее. Следовательно, высота $$CH$$ (расстояние от $$C$$ до $$AB$$) равна $$P_2Q_2$$.

Таким образом, треугольник $$ABC$$ построен по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.