30, На отрезке АВ как на диаметре построена окружность. Докажите, что из всех точек окружности, отличных от А и В, отрезок АВ виден под прямым углом.

Решение:

Дан отрезок AB, который является диаметром окружности. Построена окружность с центром в середине отрезка AB.

Нужно доказать, что для любой точки C на окружности, отличной от A и B, угол ACB является прямым.

Рассмотрим треугольник ACB. Точка C лежит на окружности, а AB — её диаметр.

Пусть O — центр окружности. Тогда OA, OB и OC — радиусы окружности.

Следовательно, OA = OB = OC = R (где R — радиус окружности).

Рассмотрим треугольник AOC. Так как OA = OC, то этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ OAC = ∠ OCA \).

Рассмотрим треугольник BOC. Так как OB = OC, то этот треугольник также равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ OBC = ∠ OCB \).

Сумма углов в треугольнике ACB равна 180°:

\( ∠ CAB + ∠ CBA + ∠ ACB = 180° \)

Заменим \( ∠ CAB \) на \( ∠ OAC \) и \( ∠ CBA \) на \( ∠ OBC \):

\( ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ ACB = 180° \)

Также, \( ∠ ACB = ∠ OCA + ∠ OCB \).

Подставим равенства углов из равнобедренных треугольников:

\( ∠ OAC + ∠ OBC + (∠ OCA + ∠ OCB) = 180° \)

\( (∠ OAC + ∠ OCA) + (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° \)

\( 2 ∠ OAC + 2 ∠ OBC = 180° \)

Разделим обе части на 2:

\( ∠ OAC + ∠ OBC = 90° \)

Теперь вернёмся к сумме углов треугольника ACB:

\( ∠ ACB = 180° - (∠ OAC + ∠ OBC) \)

\( ∠ ACB = 180° - 90° \)

\( ∠ ACB = 90° \)

Таким образом, угол ACB является прямым.

Теорема доказана.

Вывод: Любой угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.