3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника. Билет №15.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. В прямоугольном треугольнике напротив меньшего угла лежит меньший катет. Так как \( \angle B = 30^{\circ} \) меньше \( \angle A = 60^{\circ} \), то меньший катет — это катет AC.

Пусть c — длина гипотенузы (AB), а b — длина меньшего катета (AC). По условию задачи:

c + b = 26,4 см

Вспомним свойства прямоугольного треугольника с углами 30°, 60°, 90°:

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, \( b = \frac{c}{2} \).

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{c}{2} + c = 26,4 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{c + 2c}{2} = 26,4 \]

\[ \frac{3c}{2} = 26,4 \]

Выразим c:

\[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{3} \]

\[ c = \frac{52,8}{3} \]

\[ c = 17,6 \] см

Итак, гипотенуза треугольника равна 17,6 см.

Ответ: 17,6 см.